Question

如果一個(gè)點(diǎn)能與另外兩個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，則稱這個(gè)點(diǎn)為另外兩個(gè)點(diǎn)的勾股點(diǎn)．例如：矩形ABCD中，點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)可構(gòu)成直角三角形ABC，則稱點(diǎn)C為A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．同樣，點(diǎn)D也是A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)．

（1）如圖1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，請?jiān)谶匔D上作出A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)（點(diǎn)C和點(diǎn)D除外）（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．

（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接寫出邊CD上A，B兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

（3）如圖2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿著DC方向以1 cm／s的速度向右移動(dòng)，過點(diǎn)P的直線l平行于BC，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），點(diǎn)H為M，N兩點(diǎn)的勾股點(diǎn)，且點(diǎn)H在直線l上．

①當(dāng)t=4時(shí)，求PH的長．

②探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)（直接寫出點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不必證明）．

Answer 1

（1）作圖見解析；（2）4；（3）PH=或PH=2或PH=3．（4）當(dāng)0≤t＜4或t=5或t=8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)就是A，B兩點(diǎn)在CD上的勾股點(diǎn)；

（2）當(dāng)矩形ABCD中，AB=3，BC=1時(shí)，此時(shí)以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)有兩個(gè)，加上C、D兩點(diǎn)，總共四個(gè)點(diǎn)；

（3）①如圖，當(dāng)t=4時(shí)，PM=8-4=4，QN=5-4=1，分三種情況：當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，根據(jù)已知條件可以證明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形對應(yīng)線段成比例即可求出PH；當(dāng)∠H''NM=90°時(shí)，設(shè)PH=x，那么H''Q=4-x，根據(jù)勾股定理得到PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，而MN==5，依次即可求出PH''；當(dāng)∠H'MN=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得到H'P2+PM2+QH'2+QN2=MN2，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．

②利用①的結(jié)果可以探究滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍．

試題解析：（1）如圖，以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)，或線段CD的中點(diǎn)E就是所勾股點(diǎn)；

（2）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1時(shí)，

∴以線段AB為直徑的圓與線段CD的交點(diǎn)有兩個(gè)，加上C、D兩點(diǎn)，總共四個(gè)點(diǎn)4個(gè)；

（3）①如圖，當(dāng)t=4時(shí)，PM=8-4=4，QN=5-4=1，

當(dāng)∠MHN=90°時(shí)，

∵∠MPH=∠HQN=90°，

∴△PMH∽△QHN，

∴PH：QN=PM：HQ，

而PH+HQ=BC=4，

∴PH=2；

當(dāng)∠H''NM=90°時(shí)，設(shè)PH=x，那么H''Q=4-x

依題意得PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，

而MN==5，

∴PH=；

當(dāng)∠H'MN=90°時(shí)，QH'2+QN2-（H'P2+PM2）=MN2，

而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，

∴PH=3．

∴PH=或PH=2或PH=3．

②當(dāng)0≤t＜4時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；

當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；

當(dāng)4＜t＜5時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；

當(dāng)t=5時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；

當(dāng)5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)；

當(dāng)t=8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)0≤t＜4或t=5或t=8時(shí)，有2個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)t=4時(shí)，有3個(gè)勾股點(diǎn)；當(dāng)4＜t＜5或5＜t＜8時(shí)，有4個(gè)勾股點(diǎn)．

考點(diǎn)：1.勾股定理；2.相似三角形的判定與性質(zhì)．