Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CD⊥AB于點E
（1）求證：△ACE∽△CBE；
（2）若AB=8，設OE=x（0＜x＜4），CE2=y，請求出y關于x的函數解析式．

Answer 1

【答案】（1）證明：∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，
∴∠CBA=∠ACE，
∴△ACE∽△CBE；
（2）解：連接OC，
∵AB=8，∴OC=4，
在Rt△OCE中，OE=x，OC=4，
根據勾股定理得：CE= ，
∵CE2=y，
∴y=﹣x2+16（0＜x＜4）．

【解析】（1）由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AC與BC垂直，即三角形ABC為直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余得到一對角互余，再由CD與AB垂直，得到三角形ACE與三角形BCE都為直角三角形，同理得到一對角互余，等量代換得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似即可得證；
（2）連接OC，由AB垂直于CD，在直角三角形OCE中，由OE=x，OC=4，利用勾股定理表示出CE，代入CE2=y中，即可得到y(tǒng)關于x的函數解析式．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，以及對圓周角定理的理解，了解頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．