【題目】在平行四邊形ABCD中,點O是對角線BD中點,點E在邊BC上,EO的延長線與邊AD交于點F,連接BF、DE,如圖1

1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;

2)在(1)中,若DEDC,∠CBD45°,過點CDE的垂線,與DEBD、BF分別交于點G、H、R,如圖2

①當(dāng)CD6CE4時,求BE的長.

②探究BHAF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

【答案】1)詳見解析;(2)①42;②AFBH,詳見解析

【解析】

(1)由ASA可得△BOE≌△DOF,可得DFBE,可得結(jié)論;

(2)①由等腰三角形的性質(zhì)可得ENCN2,由勾股定理可求DN,由等腰三角形的性質(zhì)可求BN的長,即可求解;

②如圖,過點HHMBC于點M,由AAS可證△HMC≌△CND,可得HMCN,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得BHHM,即可得結(jié)論.

(1)證明:∵平行四邊形ABCD中,點O是對角線BD中點,

ADBCBODO,

∴∠ADB=∠CBD,且∠DOF=∠BOE,BODO,

∴△BOE≌△DOFASA

DFBE,且DFBE,

∴四邊形BEDF是平行四邊形;

(2)①如圖2,過點DDNEC于點N,

DEDC6,DNEC,

ENCN2,

DN4,

∵∠DBC45°DNBC,

∴∠DBC=∠BDN45°

DNBN4,

BEBNEN42

故答案為:BE42.

AFBH,

理由如下:如圖,過點HHMBC于點M,

DNEC,CGDE,

∴∠CEG+ECG90°,∠DEN+EDN90°

∴∠EDN=∠ECG,

DEDCDNEC,

∴∠EDN=∠CDNEC2CN,

∴∠ECG=∠CDN

∵∠DHC=∠DBC+BCH45°+BCH,∠CDB=∠BDN+CDN45°+CDN

∴∠CDB=∠DHC,

CDCH,且∠HMC=∠DNC90°,∠ECG=∠CDN,

∴△HMC≌△CNDAAS

HMCN

HMBC,∠DBC45°,

∴∠BHM=∠DBC45°

BMHM,

BHHM,

ADBCDFBE,

AFEC2CN,

AF2HMBH

故答案為:AFBH.

練習(xí)冊系列答案
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結(jié)論應(yīng)用

在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b兩點,過點AACx軸于點C,過點BBDy軸于點D

(A)(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)如圖(2),已知b=1AC,BD相交于點E,求證:CDAB

(B)(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)如圖(3),若點B在第三象限,判斷并證明CD與AB的位置關(guān)系

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(1)求k的值;

(2)點N(a,1)是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上的點,在x軸上是否存在點P,使得PM+PN最?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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1的長度為________;

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