Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)D為對(duì)角線OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、E，且tan∠BOA=．

（1）求邊AB的長；
（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；
（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，將矩形折疊，使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G，求線段OG的長．

Answer 1

（1）2；（2），；（3）

解析試題分析：（1）由點(diǎn)E（4，n）在邊AB上可得OA=4，再根據(jù)tan∠BOA=即可求得結(jié)果；
（2）由（1）可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），再根據(jù)點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式，從而求得n的值；
（3）設(shè)點(diǎn)F（a，2），由反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，即可求得a的值，連接FG，設(shè)OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，在Rt△CGF中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可.
（1）∵點(diǎn)E（4，n）在邊AB上，
∴OA=4，在Rt△AOB中，
∵tan∠BOA=，
∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2；
（2）由（1）可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），
∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D（2，1）．
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上，
∴，解得k=2．
∴反比例函數(shù)解析式為
又∵點(diǎn)E（4，n）在反比例函數(shù)圖象上，
∴；
（3）如圖，設(shè)點(diǎn)F（a，2），

∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F，
∴，解得a=1．
∴CF=1．連接FG，設(shè)OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，
在Rt△CGF中，GF²=CF²+CG²，即t²=（2﹣t）²+1²，解得t=，
∴OG=t=．
考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì)
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．