Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，B為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)A、B的直線與y軸交于點(diǎn)C，且OA2＝ABAC．

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）若AB＝，求直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

，

（1）連接OB，根據(jù)題意可證明△OAB∽△CAO，繼而可推出OB⊥AB，根據(jù)切線定理即可求證結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理可求得OA＝2及A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求CO的長及C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，設(shè)直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，再把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入求得k、b的值即可．

（1）證明：連接OB．

∵OA2＝ABAC

∴,

又∵∠OAB＝∠CAO，

∴△OAB∽△CAO，

∴∠ABO＝∠AOC，

又∵∠AOC＝90°，

∴∠ABO＝90°，

∴AB⊥OB；

∴直線AB是⊙O的切線；

（2）解：∵∠ABO＝90°，，OB＝1，

∴，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），

∵△OAB∽△CAO，

∴，

即，

∴，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為；

設(shè)直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，

則，

∴

∴．

即直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．