Question

【題目】已知拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與，軸的交點(diǎn)分別為，，是其對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，給出以下結(jié)論：①，②是的一個(gè)根，③若，，則.其中正確的有______個(gè).

Answer 1

【答案】3

【解析】

①根據(jù)對(duì)稱軸方程即可得結(jié)論；②根據(jù)對(duì)稱軸和拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)即可得結(jié)論；③構(gòu)造PA和PB所在直角三角形全等，得線段相等，從而求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)式求拋物線解析式，求當(dāng)x＝1時(shí)，y的值即可得結(jié)論．

解：①因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸x＝1，
所以＝1，即b＋2a＝0，
所以①正確；
②因?yàn)?/span>A（1，0），對(duì)稱軸x＝1，
所以設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，
所以E（3，0），
所以x＝3時(shí)，y＝0，即x＝3是ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根．
所以②正確；
③如圖：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)D，設(shè)對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)C，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝90°，
∴∠APC＋∠BPD＝90°，
∵∠BPD＋∠PBD＝90°，
∴∠PBD＝∠APC，
∵AP＝BP，
∴Rt△APC≌Rt△PBD（AAS）
∴PC＝BD＝1，DP＝AC＝2，
∴DC＝3，
∴OB＝3，
∴B（0，3）．又E（3，0），A（1，0）．
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x＋1）（x3），
把B（0，3）代入，解得a＝1，
∴拋物線解析式為x2＋2x＋3，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4，
即a＋b＋c＝4．
所以③正確．
故答案為3．