Question

如圖1．在四邊形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠BAD=2∠EAF．
（1）求證：EF=BE+DF；
（2）在（1）問中，若將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E、F分別運動到BC、CD延長線上時，如圖2所示，
試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）延長CB至M，使BM=DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；
（2）在CB上截取BM=DF，連接AM，證△ABM≌△ADF，推出AF=AM，∠DAF=∠BAM，求出∠EAM=∠EAF，證△FAE≌△MAE，推出EF=EM即可．

解答：（1）證明：延長CB至M，使BM=DF，連接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，

AB=AD ∠ABM=∠D BM=DF

∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，

AE=AE ∠FAE=∠MAE AF=AM

，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．

（2）解：EF、BE、DF之間的關(guān)系是EF=BE-DF，
理由是：在CB上截取BM=DF，連接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
在△ABM和△ADF中，

AB=AD ∠B=∠ADF BM=DF

∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF=2（∠EAD+∠DAF）=2（∠EAD+∠BAM）=∠EAF+（∠EAD+∠BAM）
又∵∠BAD=（∠BAM+∠EAD）+∠MAE
∴∠MAE=∠EAF在△FAE和△MAE中，

AE=AE ∠FAE=∠MAE AF=AM

，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE-BM=BE-DF，
即EF=BE-DF．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作輔助線，證明過程類似．