Question

（1）如圖（1），點P是正方形ABCD的邊CD上一點（點P與點C，D不重合），點E在BC的延長線上，且CE=CP，連接BP，DE．求證：△BCP≌△DCE；

（2）如圖（2），直線EP交AD于F，連接BF，F(xiàn)C．FC與BP交與點G．
①若點P是CD中點時，判斷CF與BP的關(guān)系，并說明理由．
②若CD=4，CP=1，求△BPF的面積和△DPE的面積．
③若CD=n•PC（n是大于1的實數(shù)）時，記△BPF的面積為S₁，△DPE的面積為S₂．則

S1

S2

=

 

（不需要證明）

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）利用SAS，證明△BCP≌△DCE；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，再證明△BCP≌△CDF，進而得到CF=BP，∠FCD+∠BPC=90°，從而證明BP⊥CF；
②△BPF的面積=△BFE的面積-△BPE的面積，△DPE的面積=△DCE的面積-△PCE的面積，依此計算即可求解；
③設(shè)CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1，分別求出S₁與S₂的值，得S₁=

1

2

（n²-1），S₂=

1

2

（n-1），所以

S1

S2

=（n+1）．

解答：證明：（1）在△BCP與△DCE中，

BC=CD ∠BCP=∠DCE=90° CP=CE

，
∴△BCP≌△DCE（SAS）．

（2）①答：CF=BP，CF⊥BP．
∵CP=CE，∠PCE=90°，
∴∠CPE=45°，
∴∠FPD=∠CPE=45°，
∴∠PFD=45°，
∴FD=DP．
∵CD=2PC，
∴DP=CP，
∴FD=CP．
在△BCP與△CDF中，

BC=CD ∠BCP=∠CDF=90° CP=FD

，
∴△BCP≌△CDF（SAS）．
∴BP=CF，∠FCD=∠CBP，
∵∠CBP+∠BPC=90°，
∴∠FCD+∠BPC=90°，
∴∠PGC=90°，即BP⊥CF．
故CF與BP的關(guān)系：CF=BP，CF⊥BP．

②△BPF的面積=△BFE的面積-△BPE的面積
=

1

2

×（4+1）×4-

1

2

×1×1
=10-2.5
=7.5，
△DPE的面積=△DCE的面積-△PCE的面積
=

1

2

×4×1-

1

2

×（4+1）×1
=2-0.5
=1.5
故△BPF的面積為7.5，△DPE的面積為1.5．

③設(shè)CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD-CP=n-1．
易知△FDP為等腰直角三角形，
∴FD=DP=n-1．
S₁=S_梯形BCDF-S_△BCP-S_△FDP
=

1

2

（BC+FD）•CD-

1

2

BC•CP-

1

2

FD•DP
=

1

2

（n+n-1）•n-

1

2

n×1-

1

2

（n-1）²
=

1

2

（n²-1）；
S₂=

1

2

DP•CE=

1

2

（n-1）×1=

1

2

（n-1）．
∵n²-1=（n+1）（n-1），
∴

S1

S2

=n+1．
故答案為：n+1．

點評：本題是幾何綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形、圖形的面積等知識點，試題的綜合性較強，難度中等．