Question

【題目】如圖(1)，已知菱形的邊長為，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），拋物線頂點(diǎn)在邊上，并經(jīng)過邊的中點(diǎn)．

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，求點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離；

（3）如圖（2）將菱形以每秒個(gè)單位長度的速度沿軸正方向勻速平移，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接、．設(shè)菱形平移的時(shí)間為秒（），問是否存在這樣的，使與相似？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）存在t=1，使△ADF與△DEF相似

【解析】分析：(1)分別求出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2)；判斷點(diǎn)C′在以M為圓心，長為半徑的圓上；(3)∠DEF＝90°，∠DAF＜90°，所以分兩種情況討論，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比成比例列方程求解.

詳解：(1)由題意得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，分別代入y＝ax2＋b，得，解得.

∴這條拋物線的函數(shù)解析式為.

(2)∵點(diǎn)C(，3)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是C′，過點(diǎn)(0，3)，

∴C′一定在點(diǎn)(0，3)為圓心，為半徑的圓上，

由勾股定理得AM＝，

當(dāng)點(diǎn)A，C′，M在一條直線上時(shí)，AC′最小，最小值為AM－MC′，

即AC′的最小值為AM－MC′＝.

∴點(diǎn)C′到點(diǎn)A的最短距離為.

(3)如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，BE＝3，BC＝，

∴，

∴∠C＝60°，∠CBE＝30°。∴EC＝BC＝，DE＝.

又∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠C＝180°得∠ADC＝180°－60°＝120°，

要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個(gè)角為直角，而∠DAF＜60°，

∴∠ADF＝90°或∠AFD＝90°.

(I)若∠ADF＝90°，∠EDF＝120°－90°＝30°，

在Rt△DEF中，DE＝，得EF＝1，DF＝2，

又∵E(t，3)，F(t，－t2＋3)，

∴EF＝3－(－t2＋3)＝t2，得∴t2＝1，∵t＞0，∴t＝1，

此時(shí)，∴.

又∵∠ADF＝∠DEF，∴△ADF∽△DEF，

(II)若∠DFA＝90°，可證得△DEF∽△FBA，則，

設(shè)EF＝m，則FB＝3－m，

∴，即m2－3m＋6＝0，此方程無實(shí)數(shù)根，

∴此時(shí)t不存在.

綜上所述，存在t＝1，使△ADF與△DEF相似.