【題目】已知:如圖1,拋物線的頂點為M,平行于x軸的直線與該拋物線交于點A,B(點A在點B左側(cè)),根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形,我們規(guī)定:當(dāng)△AMB為直角三角形時,就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形”.
(1)①如圖2,求出拋物線的“完美三角形”斜邊AB的長;
②拋物線與的“完美三角形”的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是 ;
(2)若拋物線的“完美三角形”的斜邊長為4,求a的值;
(3)若拋物線的“完美三角形”斜邊長為n,且的最大值為-1,求m,n的值.
【答案】(1)AB=2;相等;(2)a=±;(3),∴.
【解析】
試題(1)過點B作BN⊥x軸于N,由題意可知△AMB為等腰直角三角形,設(shè)出點B的坐標(biāo)為(n,-n),根據(jù)二次函數(shù)得出n的值,然后得出AB的值;(2)根據(jù)拋物線的性質(zhì)相同得出拋物線的完美三角形全等,從而得出點B的坐標(biāo),得出a的值;根據(jù)最大值得出mn-4m-1=0,根據(jù)拋物線的完美三角形的斜邊長為n得出點B的坐標(biāo),然后代入拋物線求出m和n的值.
試題解析:(1)①過點B作BN⊥x軸于N,由題意可知△AMB為等腰直角三角形,AB∥x軸,
易證MN=BN,設(shè)B點坐標(biāo)為(n,-n),代入拋物線,得,
∴,(舍去),∴拋物線的“完美三角形”的斜邊
②相等;
(2)∵拋物線與拋物線的形狀相同,
∴拋物線與拋物線的“完美三角形”全等,
∵拋物線的“完美三角形”斜邊的長為4,∴拋物線的“完美三角形”斜邊的長為4,
∴B點坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2),∴.
(3)∵的最大值為-1,∴,
∴,∵拋物線的“完美三角形”斜邊長為n,
∴拋物線的“完美三角形”斜邊長為n,∴B點坐標(biāo)為,
∴代入拋物線,得,∴(不合題意舍去),
∴,∴
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【題目】函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖,點P是y=的圖象上一動點,PC⊥x軸于點C,交y=的圖象于點B.給出如下結(jié)論:①△ODB與△OCA的面積相等;②PA與PB始終相等;③四邊形PAOB的面積大小不會發(fā)生變化;④CA=AP.其中所有正確結(jié)論的序號是( 。
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),B(4,0),與y軸交于點C(0,2)
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)拋物線的對稱軸與x軸交于點M,點D與點C關(guān)于點M對稱,試問在該拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△BMP與△ABD相似?若存在,請求出所有滿足條件的P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分線,DE⊥BC,垂足為D.
(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形;
(2)請你判斷AD與BE垂直嗎?并說明理由.
(3)如果BC=10,求AB+AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下框中的題目.
在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且ED=EC,如圖.試確定線段AE與DB的大小關(guān)系,并說明理由. |
小敏與同桌小聰討論后,進(jìn)行了如下解答:
(1)特殊情況,探索結(jié)論
當(dāng)點E為AB的中點時,如圖1,確定線段AE與的DB大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論:
AE DB(填“>”,“<”或“=”).
圖1 圖2
(2)特例啟發(fā),解答題目
解:題目中,AE與DB的大小關(guān)系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).
理由如下:如圖2,過點E作EF∥BC,交AC于點F.
(請你完成以下解答過程)
(3)拓展結(jié)論,設(shè)計新題
在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在直線BC上,且ED=EC.若△ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).
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【題目】今年是“五四”運動周年,為進(jìn)一步弘揚(yáng)“愛國、進(jìn)步、民主、科學(xué)”的五四精神,引領(lǐng)廣大團(tuán)員青年堅定理想信念,某市團(tuán)委、少先隊共同舉辦紀(jì)念“五四運動周年”讀書演講比賽,甲同學(xué)代表學(xué)校參加演講比賽,位評委給該同學(xué)的打分(單位:分)情況如下表:
評委 | 評委1 | 評委2 | 評委3 | 評委4 | 評委5 | 評委6 | 評委7 |
打分 |
(1)直接寫出該同學(xué)所得分?jǐn)?shù)的眾數(shù)與中位數(shù);
(2)計算該同學(xué)所得分?jǐn)?shù)的平均數(shù).
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【題目】如圖①,點是等邊內(nèi)一點,,.以為邊作等邊三角形,連接.
(1)求證:;
(2)當(dāng)時(如圖②),試判斷的形狀,并說明理由;
(3)求當(dāng)是多少度時,是等腰三角形?(寫出過程)
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【題目】在東營市中小學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化建設(shè)工程中,某學(xué)校計劃購進(jìn)一批電腦和電子白板,經(jīng)過市場考察得知,購買1臺電腦和2臺電子白板需要3.5萬元,購買2臺電腦和1臺電子白板需要2.5萬元.
(1)求每臺電腦、每臺電子白板各多少萬元?
(2)根據(jù)學(xué)校實際,需購進(jìn)電腦和電子白板共30臺,總費用不超過30萬元,但不低于28萬元,請你通過計算求出有幾種購買方案,哪種方案費用最低.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,點D在BA的延長線上,CD與⊙O交于另一點E,DE=OB=2,∠D=20°,則弧BC的長度為( 。
A. π B. π C. π D. π
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