Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD．點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG．
（1）求證：△AED≌△DFB；
（2）求∠BGD的度數(shù)；
（3）求證：DG+BG=CG．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；
（2）根據(jù)全等呢個(gè)三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠DBF，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠DGB=∠A+∠ADE+∠EBG=∠A+∠ABD=120°；
（3）延長(zhǎng)FB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM．構(gòu)建全等三角形△CDG≌△CBM，然后利用全等三角形的性質(zhì)來(lái)證明CG=DG+BG．

解答：（1）證明：∵ABCD為菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
在△AED和△DFB中

AD=BD ∠A=∠BDF AE=DF

，
∴△AED≌△DFB（SAS）；

（2）解：∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠DGB=∠DEB+∠EBG，∠DEB=∠A+∠ADE，
∴∠DGB=∠A+∠ADE+∠EBG=∠A+∠ABD=120°；

（3）延長(zhǎng)FB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM．
∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF．
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等邊三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵

CD=CB ∠CDG=∠CBM DG=BM

，
∴△CDG≌△CBM（SAS），
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等邊三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)．本題充分利用了等邊三角形的三條邊相等和三個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)．