Question

已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AC與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點A、C，連接OA、OC，過點A作AB⊥x軸于點B，交OC于點D，且△AOB為等腰直角三角形，tan∠COB=

1

4

，S_△OBD=2．在直線OC上是否存在點P，使得P、D、A 為頂點的三角形與三角形BOD相似？若存在求出P點坐標，不存在說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：首先根據(jù)正切值，以及三角形的面積求得D和A的坐標，則利用待定系數(shù)法求得OC的解析式，然后分AP⊥OC和AP與OB平行兩種情況進行討論，即可求得P的坐標．

解答：解：∵tan∠COB=

1

4

，
∴設BD=x，則OB=AB=4x，
∵S_△OBD=2，即

1

2

x•4x=2，
解得：x=1，
則D的坐標是（4，1），A的坐標是（4，4）．
設直線OC的解析式是y=kx，則4k=1，
解得：k=

1

4

，
則直線OC的解析式是y=

1

4

x．
當AP⊥OC時，設直線AP的解析式是y=-4x+b，把（4，4）代入解析式得：-16+b=4，
解得：b=20，
則直線的解析式是：y=-4x+20，
則

y=-4x+20 y= 1 4 x

，
解得：

x= 80 17 y= 20 17

，
則P的坐標是：（

80

17

，

20

17

）；
當AP與OB平行時，在y=

1

4

x中，令y=4，解得：x=16，則P的坐標是（16，4）．
總之，P的坐標是（

80

17

，

20

17

）或（16，4）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，分兩種情況進行討論是關鍵．