Question

如圖，已知直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

(k＞0)交于A、B兩點，A點橫坐標(biāo)為4．
（1）求k值；
（2）直接寫出關(guān)于x的不等式

1

2

x-

k

x

≥0的解集；
（3）若雙曲線y=

k

x

(k＞0)上有一點C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；
（4）若在x軸上有點M，y軸上有點N，且點M、N、A、C四點恰好構(gòu)成平行四邊形，直接寫出點M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

(k＞0)交于A、B兩點，A點橫坐標(biāo)為4，代入正比例函數(shù)，可求得點A的坐標(biāo)，繼而求得k值；
（2）首先根據(jù)對稱性，可求得點B的坐標(biāo)，結(jié)合圖象，即可求得關(guān)于x的不等式

1

2

x-

k

x

≥0的解集；
（3）首先過點C作CD⊥x軸于點D，過點A作AE⊥軸于點E，可得S_△AOC=S_△OCD+S_梯形AEDC-S_△AOE=S_梯形AEDC，又由雙曲線y=

k

x

(k＞0)上有一點C的縱坐標(biāo)為8，可求得點C的坐標(biāo)，繼而求得答案；
（4）由當(dāng)MN∥AC，且MN=AC時，點M、N、A、C四點恰好構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)，即可求得答案．

解答：解：（1）∵直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

(k＞0)交于A、B兩點，A點橫坐標(biāo)為4，
∴點A的縱坐標(biāo)為：y=

1

2

×4=2，
∴點A（4，2），
∴2=

k

4

，
∴k=8；

（2）∵直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

(k＞0)交于A、B兩點，
∴B（-4，-2），
∴關(guān)于x的不等式

1

2

x-

k

x

≥0的解集為：-4≤x＜0或x≥4；

（3）過點C作CD⊥x軸于點D，過點A作AE⊥軸于點E，
∵雙曲線y=

k

x

(k＞0)上有一點C的縱坐標(biāo)為8，
∴把y=8代入y=

8

x

得：x=1，
∴點C（1，8），
∴S_△AOC=S_△OCD+S_梯形AEDC-S_△AOE=S_梯形AEDC=

1

2

×（2+8）×（4-1）=15；

（4）如圖，當(dāng)MN∥AC，且MN=AC時，點M、N、A、C四點恰好構(gòu)成平行四邊形，
∵點A（4，2），點C（1，8），
∴根據(jù)平移的性質(zhì)可得：M（3，0），N（0，6）或M′（-3，0），N′（0，-6）．

點評：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的性質(zhì)等知識．此題難度較大，綜合性很強(qiáng)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．