如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=
3
4
x-
3
2
交x軸于點A,交y軸于點B,經(jīng)過點A的拋物線y=
3
4
x2+bx+c交直線AB另一點D,且點D到y(tǒng)軸的距離為8.
(1)求拋物線解析式;
(2)點P是直線AD上方的拋物線上一動點,(不與點A、D重合),過點P作PE⊥AD于E,過點P作PF∥y軸交AD于F,設(shè)△PEF的周長為L,點P的坐標(biāo)為m,求L與m的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量m的取值范圍;
(3)在圖(2)的條件下,當(dāng)L最大時,連接PD.將△PED沿射線PE方向平移,點P、E、F的對應(yīng)點分別為Q、M、N,當(dāng)△QMN的頂點M在拋物線上時,求M點的橫坐標(biāo),并判斷此時點N是否在直線PF上.
(參考公式:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(c≠0).當(dāng)x=-
b
2a
時,y最大(。┲=
4ac-b2
4a

考點:二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)根據(jù)題意得出D點坐標(biāo),進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可;
(2)利用B(0,-
3
2
),D(-8,-
15
2
),則OB=
3
2
,OC=
15
2
,得出BC=6,設(shè)點P與F的橫坐標(biāo)為m,∠PFE=∠DBC,則P(m,
1
4
m2-
3
4
m+
5
2
),F(xiàn)(m,
3
4
m-
3
2
),由
L
△BCD的周長
=
PF
BD
,求出即可;
(3)利用配方法得出P(-3,
5
2
),PK=
5
2
,PF=
25
4
,則KF=
15
4
,利用△OAB∽△KAF,以及△PEF∽△BCD,進(jìn)而得出點B,E重合,即可得出M點橫坐標(biāo)進(jìn)而得出答案.
解答:解:(1)由題意知:A(2,0),B(0,-
3
2
),
過D作DC⊥y軸于C,則DC=8,
∴點D在y=
3
4
x-
3
2
上,
∴y=
3
4
×(-8)-
3
2
=-
15
2
,
∴D(-8,-
15
2
),
∵點A(2,0),D(-8,-
15
2
)在拋物線上,
0=-
1
4
×22+2b+c
-
15
2
=-
1
4
×(-8)2-8b+c
,
解得:
b=-
3
4
c=
5
2

∴拋物線解析式為:y=-
1
4
x2-
3
4
x+
5
2
;

(2)∵B(0,-
3
2
),D(-8,-
15
2
),
∴OB=
3
2
,OC=
15
2
,
∴BC=6,在Rt△BCD中,BD=10,△BCD的周長為24,
∵PF∥y軸,
∴點P與F的橫坐標(biāo)為m,∠PFE=∠DBC,
∴P(m,
1
4
m2-
3
4
m+
5
2
),F(xiàn)(m,
3
4
m-
3
2
),
∴PF=-
1
4
m2-
3
2
m+4,
∵PE⊥AD,DC⊥y軸,
L
△BCD的周長
=
PF
BD
,
L=-
3
5
m2-
18
5
m+
48
5
(-8<m<2);

(3)L=-
3
5
m2-
18
5
m+
48
5
=-
3
5
(m+3)2+15,
∵-
3
5
<0,
∴當(dāng)m=-3,L最大,
∴P(-3,
5
2
),PK=
5
2
,PF=
25
4
,
∴KF=
15
4
,
∵A(2,0),B(0,-
3
2
),
∴OA=2,OB=
3
2
,
在Rt△OAB中,AB=
OA2+OB2
=
5
2
,
∵OB∥FK,
∴△OAB∽△KAF,
AB
AF
=
OB
KF

∴AF=
25
4
,∴BP=
15
4

∵△PEF∽△BCD,
EF
BC
=
PF
BD
,
∴EF=
15
4
,
∴點B,E重合,
∵P(-3,
5
2
),B(0,-
3
2
),
∴直線PB的解析式為:y=-
4
3
x-
3
2
,
則令M點坐標(biāo)為:(n,-
4
3
n-
3
2
),
點M在拋物線y=-
1
4
x2-
3
4
x+
5
2
上,
∴-
4
3
n-
3
2
=-
1
4
n2-
3
4
n+
5
2
,
整理得:(n+3)(3n-16)=0,
解得;n1=-3(舍去),n2=
16
3
,
∴M點橫坐標(biāo)為:
16
3

∵點E的橫坐標(biāo)為0,M點橫坐標(biāo)為:
16
3
,
∴△PED向右平移了
16
3
個單位長度,
∴點D也向右平移了
16
3
個單位長度,
∴點N的橫坐標(biāo)為:-8+
16
3
≠-3,
又∵直線PF上點的橫坐標(biāo)為:-3,
∴點N不在直線PF上.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及圖形的平移等知識,得出M點橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖,E是長方形ABCD的邊AB上的點,EF⊥DE交BC于點F
(1)求證:△ADE∽△BEF;
(2)設(shè)H是ED上一點,以EH為直徑作⊙O,DF與⊙O相切于點G,若DH=OH=3,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留到小數(shù)點后面第一位,
3
≈1.73,π≈3.14).

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如圖,A(0,2),B(0,-3),△ABC的面積為5,點C在x軸上,求點C的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直線y=
1
2
x
與雙曲線y=
k
x
(k>0)
交于A、B兩點,A點橫坐標(biāo)為4.
(1)求k值;
(2)直接寫出關(guān)于x的不等式
1
2
x-
k
x
≥0
的解集;
(3)若雙曲線y=
k
x
(k>0)
上有一點C的縱坐標(biāo)為8,求△AOC的面積;
(4)若在x軸上有點M,y軸上有點N,且點M、N、A、C四點恰好構(gòu)成平行四邊形,直接寫出點M、N的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校為了了解九年級男生立定跳遠(yuǎn)的成績,從該校隨機(jī)抽取了50名男生的測試成績,根據(jù)測試評分標(biāo)準(zhǔn),將他們的得分按優(yōu)秀、良好、及格、不及格(分別用A、B、C、D表示)四個等級進(jìn)行統(tǒng)計,并繪制成下面的扇形圖和統(tǒng)計表:
等級 成績(分) 頻數(shù)(人數(shù)) 頻率
A 90~100 19 0.38
B 75~89 m x
C 60~74 n y
D 60以下 3 0.06
合計 50 1.00
請你根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)m=
 
,n=
 
,x=
 
,y=
 
;
(2)在扇形圖中,C等級所對應(yīng)的圓心角是
 
度;
(3)若該校九年級共有600名男生參加了立定跳遠(yuǎn)測試,請你估計成績等級達(dá)到“優(yōu)秀”、“良好”的男生共有多少人?

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已知△ABC∽△DEF,相似比為3:5,△ABC的周長為6,則△DEF的周長為
 

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將一張正方形紙片的一個角剪去,得到的多邊形的內(nèi)角和為
 

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當(dāng)x=2014時,分式
x2-9
x-3
的值為
 

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若m2+6m=2,則(m+3)2=
 

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同步練習(xí)冊答案