Question

【題目】如圖，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，邊BC是⊙0的切線，切點(diǎn)為D，AB經(jīng)過(guò)圓心O并與圓相交于點(diǎn)E，連接AD．

（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若AC=8，tan∠DAC= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵BC是⊙O的切線，

∴OD⊥BC，
∠ODB=∠C=90°

∴OD∥AC，

∴∠ODA=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠BAC

（2）解：連接DE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠CAD，tan∠DAC= ，

∴tan∠EAD= ，

∵tan∠DAC= ，AC=8，

∴CD=6，

由勾股定理得，AD= =10，

∴ = ，

解得，DE= ，

∴AE= = ，

∴⊙O的半徑為 ．

【解析】（1）已知圓的切線，常添加的輔助線是“連半徑，得垂直”。已知BC是⊙0的切線，所以連半徑OD,得到OD⊥BC，再由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)就可證得結(jié)論；（2）要求此圓的半徑，轉(zhuǎn)化為求直徑AE的長(zhǎng)，已知圓的直徑，常添加的輔助線是“連接一條弦，得直徑所對(duì)的圓周角是直角”，方法一：連接DE,得到Rt△ADE，再根據(jù)正切的定義和勾股定理可得到圓的半徑，方法二求出AD的長(zhǎng)后，也可以證明△ACD△ADE求得AE的長(zhǎng)，即可得到此圓的半徑長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平行線的判定與性質(zhì)(由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì))，還要掌握等腰三角形的性質(zhì)(等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．