Question

如圖，已知動點A在函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC．直線DE分別交x軸，y軸于點P，Q，當QE：DP=9：4，且圖中陰影部分的面積等于13時，k的值是

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義

專題：計算題

分析：作EM⊥y軸于M，DN⊥x軸于N，如圖，設(shè)A點坐標為（a，b），則AC=AE=a，AB=AD=b，先證明Rt△QME∽Rt△DNP，利用相似比表示出PN=

4

9

a，QM=

9

4

b，再證明△QME∽△QCD，利用相似比得到

9 4 b

9 4 b+a

=

a

a+b

，則a²=

9

4

b²，然后根據(jù)

1

2

a²+

1

2

b²=13，可得到

9

4

b²+b²=26，解得b=2

2

，再計算出a的值，最后利用k=ab求解．

解答：解：作EM⊥y軸于M，DN⊥x軸于N，如圖，設(shè)A點坐標為（a，b），則AC=AE=a，AB=AD=b，
∵ME∥OP，
∴∠QEM=∠DPN，
∴Rt△QME∽Rt△DNP，
∴

QM

DN

=

ME

PN

=

QE

DP

=

9

4

，
∴PN=

4

9

a，QM=

9

4

b，
∵ME∥CD，
∴△QME∽△QCD，
∴

QM

QC

=

ME

CD

，即

9 4 b

9 4 b+a

=

a

a+b

，
∴a²=

9

4

b²，
∴圖中陰影部分的面積等于13時，∵圖中陰影部分的面積等于13，即

1

2

a²+

1

2

b²=13，
∴

9

4

b²+b²=26，解得b=2

2

，
∴a²=

9

4

×8=18，解得a=3

2

，
∴k=ab=3

2

×2

2

=12．
故答案為12．

點評：本題考查了反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．