Question

如圖，已知等邊△ABC，P在AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以PA為邊作等邊△APE，EC延長(zhǎng)線交BP于M，連接AM，求證：
（1）BP=CE；
（2）試證明：EM-PM=AM．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過證明△EAC≌△PAB（SAS），即可得出BP=CE；
（2）通過證明△AEN≌△APM（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)即可得出EM-PM=EM-EN=MN=AM．

解答：證明：（1）∵△ABC，△APE是等邊三角形，
∴AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，
在△EAC與△PAB中，
∵

AE=AP ∠EAC=∠PAB AC=AB

，
∴△EAC≌△PAB（SAS），
∴BP=CE；

（2）∵△EAC≌△PAB，
∴∠AEM=∠APB．
在EM上截取EN=PM，連接AN．
在AEN與△APM中，
∵

AE=AP ∠AEM=∠APB EN=PM

∴△AEN≌△APM（SAS），
∴AN=AM；∠EAN=∠PAM．
則∠PAM+∠PAN=∠EAN+∠PAN=60°，即△ANM為等邊三角形，得：MN=AM．
所以EM-PM=EM-EN=MN=AM．

點(diǎn)評(píng)：考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．