Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，2），點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BAD沿BD翻折，點(diǎn)A剛好落在BC邊上的F處，BD、EF交于點(diǎn)P

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

（2）若OD=1，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）動(dòng)點(diǎn)Q從P點(diǎn)出發(fā)，依次經(jīng)過(guò)F，y軸上的點(diǎn)M，x軸上的點(diǎn)N，然后返回到P點(diǎn)：

①若要使Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周的路徑最短，試確定M、N的位置；

②若n=3，求最短路徑的四邊形PFMN的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）E（n，1）；F（n-2，2）；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）；（3）①見(jiàn)解析，②+．

【解析】

（1）由翻折知四邊形ABFD是正方形，據(jù)此得DF=AB=AD=2、OD=CF=BC-BF=n-2，即可得出點(diǎn)F坐標(biāo)，由E為AB中點(diǎn)可得點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）OD=1知n=3，據(jù)此得出點(diǎn)B、D、E、F的坐標(biāo)，分別求得直線BD和直線EF的解析式，聯(lián)立方程組即可求得BD與EF的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）①作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′、作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接F′P′交y軸于點(diǎn)M、交x軸于點(diǎn)N；

②由n=3結(jié)合（2）知點(diǎn)P、F及其關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，利用勾股定理求解可得．

（1）∵B（n，2），

∴AB=OC=2、OA=BC=n，

由翻折知△DAB≌△DFB，

∴∠DAB=∠DFB=90°、BA=BF=2，

∵∠ABF=90°，

∴四邊形ABFD是正方形，

∴DF=AB=AD=2，

∴OD=CF=BC-BF=n-2，

則F（n-2，2），

∵E為AB中點(diǎn)，

∴AE=BE=1，

∴E（n，1）；

（2）若OD=1，則n-2=1，即n=3，

∴B（3，2）、D（1，0）、E（3，1）、F（1，2），

設(shè)BD所在直線解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)B（3，2）、D（1，0）代入，得：

，

解得：，

∴BD所在直線解析式為y=x-1；

設(shè)EF所在直線解析式為y=mx+n，

將E（3，1）、F（1，2）代入，得：，

解得：，

∴EF所在直線解析式為y=-x+；

由可得，

所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）；

（3）①如圖所示，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′、作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接F′P′交y軸于點(diǎn)M、交x軸于點(diǎn)N，

②若n=3，由（2）知P（，）、F（1，2），

則F′（-1，2）、P′（，-），

∴PF=＝，P′F′=＝，

∴C四邊形PFMN=+．