Question

如圖，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA=DF．
（1）求證：△FBD≌△ACD；
（2）延長BF交AC于E，求證：BF=2CE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出DB=DC，∠BDF=∠CDA=90°，根據(jù)SAS推出全等即可；
（2）根據(jù)全等推出∠ACD=∠FBD，AE=BF，求出∠ACD+∠CFE=90°，推出∠BEC=∠BEA=90°，證出△ABE≌△CBE即可．

解答：證明：（1）∵△DBC是等腰直角三角形，
∴DB=DC，∠BDF=∠CDA=90°，
在△FBD和△ACD中，

BD=DC ∠BDF=∠CDA DF=AD

，
∴△FBD≌△ACD（SAS），

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠ACD=∠FBD，AE=BF，
∵∠BDF=90°，
∴∠FBD+∠DFB=90°，
∵∠CFE=∠BFD，
∴∠EFC+∠ACD=90°，
∴∠CEF=180°-90°=90°=∠BEA，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，

∠ABE=∠CBE BE=BE ∠BEA=∠BEC

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=EC，
∵BF=AC，
∴BF=2CE．

點評：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力．