Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交AB于點(diǎn)F．若AC=3，BC=4，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,解直角三角形

專題：

分析：（1）連結(jié)OD，CD，求出DE=CE=BE，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）根據(jù)勾股定理求出AB=5，解直角三角形得出cosB=

BC

AB

=

4

5

，求出DE，推出∠EDF=∠B，解直角三角形求出即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，CD，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=180°-∠ADC=90°，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴DE=

1

2

BC=CE，
∴∠1=∠2．
∵OC=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ACB=∠ODE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°，
又∵OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線． 

（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosB=

BC

AB

=

4

5

，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴DE=

1

2

BC=BE=2，
∴∠5=∠B，
∴cos∠5=

DE

DF

=

4

5

，
∴DF=

5

4

DE=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，解直角三角形，切線的判定的應(yīng)用，注意：經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．