Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，AB=，BC=．某課題小組利用這張矩形紙片依次進(jìn)行如下操作（每次折疊后均展開）．

如圖①，第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交與點(diǎn)O1，設(shè)O1D的中點(diǎn)為D1；

如圖②，第二次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D1重合，折痕與BD交與點(diǎn)O2，設(shè)O2D3的中點(diǎn)為D2；

如圖③，第三次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交與點(diǎn)O3，設(shè)O3D2的中點(diǎn)為D3；

…

根據(jù)以上操作結(jié)果，回答下列問題：

（1）如圖①，MN是折痕，求證：△DA′M≌△DCN；

（2）分別求出線段BO1、BO2、BO3的長，并直接寫出第n次折疊后BOn的長（用含n的式子表示）；

（3）如圖②，第二次折疊時(shí)，折痕一定會(huì)經(jīng)過點(diǎn)A嗎？請通過計(jì)算判斷．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、BOn=；(3)、證明過程見解析

【解析】

試題分析：(1)、首先證明DM=DN，再根據(jù)AAS即可判斷；(2)、根據(jù)題意求出BO1、BO2、BO3，尋找規(guī)律后即可解決問題；(3)、結(jié)論：第二次折疊時(shí)，折痕一定會(huì)經(jīng)過點(diǎn)A．作AE⊥BD垂足為E，求出BE的長，證明點(diǎn)E與點(diǎn)O2重合即可．

試題解析：(1)、如圖①中，

∵四邊形MNDA′是由四邊形MNBA翻折得到，∴∠ABN=∠A′DN=90°，∠BNM=∠MND，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BNM=∠DMN=∠DNM，∴DM=DN，∵∠A′DN=∠ADC，∴∠A′DM=∠NDC，

在△DA′M和△DCN中，，∴△DMA′≌△DNC．

(2)、如圖③中，

，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=90°，AB=CD=，BC=AD=，∴BD===4，

∵BO1=O1D=BD=2=，BO2=BD1==，BO3=BD2==，

…BOn=．

(3)、如圖②中，結(jié)論：第二次折疊時(shí)，折痕一定會(huì)經(jīng)過點(diǎn)A．

理由：作AE⊥BD垂足為E．

∵∠AEB=∠BAD=90°，∠ABE=∠BAD，∴△ABE∽△DBA，∴=，∴=，

∴BE=，∵BO2=，∴點(diǎn)E與點(diǎn)O2重合，∴第二次折疊時(shí)，折痕一定會(huì)經(jīng)過點(diǎn)A．