Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）E為拋物線上一動點，是否存在點E，使以A、B、E為頂點的三角形與△COB相似？若存在，試求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若將直線BC平移，使其經(jīng)過點A，且與拋物線相交于點D，連接BD，試求出∠BDA的度數(shù)．

　

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的應(yīng)用；勾股定理的應(yīng)用；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)；相似三角形的應(yīng)用．

【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）本題需先根據(jù)已知條件，過C點，設(shè)出該拋物線的解析式為y=ax²+bx+2，再根據(jù)過A，B兩點，即可得出結(jié)果；

（2）由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形．由相似關(guān)系求出點E的坐標；

（3）如圖2，連結(jié)AC，作DE⊥x軸于點E，作BF⊥AD于點F，由BC∥AD設(shè)BC的解析式為y=kx+b，設(shè)AD的解析式為y=kx+n，由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，就可以求出點D坐標，由勾股定理就可以求出BD的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行線的性質(zhì)就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四邊形ACBF是矩形，就可以得出BF的值，由勾股定理求出DF的值，而得出DF=BF而得出結(jié)論．

【解答】解：（1）∵該拋物線過點C（0，2），

∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．

將A（﹣1，0），B（4，0）代入，

得，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+x+2．

 

（2）存在．

由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，

∴BC==．

在Rt△BOC中，設(shè)BC邊上的高為h，則×h=×2×4，

∴h=．

∵△BEA∽△COB，設(shè)E點坐標為（x，y），

∴=，

∴y=±2

將y=2代入拋物線y=﹣x²+x+2，

得x₁=0，x₂=3．

當(dāng)y=﹣2時，不合題意舍去．

∴E點坐標為（0，2），（3，2）．

 

（3）如圖2，連結(jié)AC，作DE⊥x軸于點E，作BF⊥AD于點F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

∴，

y_BC=﹣x+2．

由BC∥AD，設(shè)AD的解析式為y=﹣x+n，由圖象，得

0=﹣×（﹣1）+n

∴n=﹣，

y_AD=﹣x﹣．

∴﹣x²+x+2=﹣x﹣，

解得：x₁=﹣1，x₂=5

∴D（﹣1，0）與A重合，舍去；

∴D（5，﹣3）．

∵DE⊥x軸，

∴DE=3，OE=5．

由勾股定理，得BD=．

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴OA=1，OB=4，OC=2．

∴AB=5

在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得

AC=，BC=2，

∴AC²=5，BC²=20，AB²=25，

∴AC²+BC²=AB²

∴△ACB是直角三角形，

∴∠ACB=90°．

∵BC∥AD，

∴∠CAF+∠ACB=180°，

∴∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，

∴四邊形ACBF是矩形，

∴AC=BF=，

在Rt△BFD中，由勾股定理，

得DF=，

∴DF=BF，

∴∠ADB=45°．

【點評】本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式的運用，相似三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，矩形的判定及性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．