Question

如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交BC、AD于點(diǎn)F、E，垂足為O．
（1）求證：四邊形AFCE為菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形AFCE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先證明△AOE≌△COF，得出OE=OF，再根據(jù)EF垂直平分AC，可得出四邊形AFCE為菱形；
（2）設(shè)AF=x，由AB=4，BC=8，得BF=8-x，根據(jù)勾股定理可得出AF的長，根據(jù)菱形的面積求解即可．

解答：解：（1）證明：∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FOC，AOE=∠COF，
∴在△AOE和△COF中，

∠EAO=∠FOC AO=CO ∠AOE=∠COF

，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE為菱形；（6分）
（2）設(shè)AF=x，
∵AB=4，BC=8，∴BF=8-x，
∴AF²=AB²+BF²，
∴x²=4²+（8-x）²，
∴x=5，
∴S_菱形AFCE=FC•AB=5×4=20，
∴菱形面積為20．（2分）

點(diǎn)評：本題考查了菱形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及面積的求法，是重點(diǎn)知識，要熟練掌握．