Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E為CD邊中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC方向以每秒cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DB方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)．
①請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示OP的長(zhǎng)度；
②若記四邊形PBEQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）顯然，當(dāng)x=0時(shí)，四邊形PBEQ即梯形ABED，請(qǐng)問，當(dāng)P在線段AC的其他位置時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為梯形？若能，求出所有滿足條件的x的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)求出OA的長(zhǎng)度，再求出AP的長(zhǎng)等于2x，OP的長(zhǎng)即可求出；
②過E作EH⊥BD于H，表示出BQ的長(zhǎng)等于2-x，分別求出△BPQ和△BEQ的面積，兩個(gè)三角形的面積之和就是四邊形PBEQ的面積為y．（2）根據(jù)梯形的定義，可以分三種情況討論：
①PQ∥BE時(shí)，因?yàn)椤螮BQ=30°，所以∠PQO=30°，再利用∠PQO的正切值列出算式即可求解，
②PE∥BQ時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P是CO的中點(diǎn)，根據(jù)AP的長(zhǎng)度等于速度乘以時(shí)間列出算式即可求出；
③EQ∥BP時(shí)，過E作EH⊥DO，垂足為H，得到△QEH與△BPO相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出等式即可求出x的值．
解答：解：（1）①由題意得∠BAO=30°，AC⊥BD，
∵AB=2，
∴OB=OD=1，OA=OC=，
∴OP=，（2分）
②過點(diǎn)E作EH⊥BD，則EH為△COD的中位線，
∴，
∵DQ=x，
∴BQ=2-x，
∴y=S_△BPQ+S_△BEQ=×（2-x）（-2x）+×（2-x）×，
=；（3分）

（2）能成為梯形，分三種情況：

①當(dāng)PQ∥BE時(shí)，∠PQO=∠DBE=30°，
∴，
即，
∴x=，
此時(shí)PB不平行QE，
∴x=時(shí)，四邊形PBEQ為梯形．（2分）

②當(dāng)PE∥BQ時(shí)，P為OC中點(diǎn)，

∴AP=，即，
∴，
此時(shí)，BQ=2-x=≠PE，
∴x=時(shí)，四邊形PEQB為梯形．（2分）

③

當(dāng)EQ∥BP時(shí)，過E作EH⊥DO，垂足為H，
∴△QEH∽△BPO，
∴，
∴，
∴x=1（x=0舍去），
此時(shí)，BQ不平行于PE，
∴x=1時(shí)，四邊形PEQB為梯形．（2分）
綜上所述，當(dāng)x=、或1時(shí)，以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)及梯形的判定方法，熟練掌握性質(zhì)和定義是解本題的關(guān)鍵．本題還要注意說明以P，B，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，因?yàn)榈走叢淮_定，所以一定要分情況討論．