Question

（人教版）已知：二次函數(shù)y=x²-（m+1）x+m的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，交y軸正半軸于點C，且x₁²+x₂²=10．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在過點D（0，-

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）的直線與拋物線交于點M、N，與x軸交于點E，使得點M、N關(guān)于點E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）因為x₁²+x₂²=10，
所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，（m+1）²-2m=10，
所以m=3，m=-3，
又因為點C在y軸的正半軸上，
∴m=3，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）過點D（0，-

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）的直線與拋物線交于M（X_M，Y_M）、N（X_N，Y_N）兩點，與x軸交于點E，使得M、N兩點關(guān)于點E對稱．
設(shè)直線MN的解析式為：y=kx-

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，
則有：Y_M+Y_N=0，（6分）
由

y=x2-4x+3 y=kx- 5 2

，
x²-4x+3=kx-

5

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，
移項后合并同類項得x²-（k+4）x+

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=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-

5

2

+kx_N-

5

2

=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
當k=-5時，方程x²-（k+4）x+

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=0的判別式△＜0，直線MN與拋物線無交點，
∴k=1，
∴直線MN的解析式為y=x-

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，
∴此時直線過一、三、四象限，與拋物線有交點；
∴存在過點D（0，-

5

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）的直線與拋物線交于M，N兩點，與x軸交于點E．使得M、N兩點關(guān)于點E對稱．