【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線軸交于兩點(在點的左側(cè)),與軸交于點,經(jīng)過點的直線與該拋物線交于另一點,并且直線軸,點為該拋物線上一個動點,點為直線上一個動點.

1)當,且時,連接,,求證:四邊形是平行四邊形

2)當時,連接,線段與線段交于點,,且,連接,求線段的長;

3)連接,,試探究:是否存在點,使得互為余角?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1)見解析;(2;(3)存在,

【解析】

1)由二次函數(shù)的性質(zhì),先求出點A、BC的坐標,然后得到點D的坐標,則得到的值,把點P代入拋物線,求出m的值,由平行四邊形的判定,即可得到答案;

2)由題意,表示PQ的長度,然后求出,再由,得到,即可得到答案;

3)根據(jù)題意,利用三角函數(shù)得到,然后分兩種情況進行分類討論:①當點在直線上方時,;②當點在直線下方時,

;分別求出m的值,即可得到點P的坐標.

解:如圖:

1)證明:當時,

解得,

,

.

時,,

.

∵直線軸,

∴直線的解析式為.

,

解得,

.

∵點在直線上,

.

,點在該拋物線上,

解得 (舍去).

∵直線軸,

,

,

∴四邊形是平行四邊形.

2兩點的橫坐標都是,

∴直線軸,

,則

,

解得:.

,.

∵直線軸,

,

,

,

,

,

;

3)假設存在點,使得互為余角,即.

,

.

,

連接.

∵直線軸,直線軸,

是直角三角形,且.

①當點在直線上方時,

(i)若點軸左側(cè),則,

.

,解得 (舍去), (舍去).

(ii)若點軸右側(cè),則,

.

,解得 (舍去),.

,

②當點在直線下方時,,

,解得 (舍去),

;

綜上,存在點,使得互為余角.

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頻率

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70

0.35

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m

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