【題目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B、C重合).以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.
(1)如圖1,當點D在線段BC上時,求證:①BD⊥CF.②CF=BC﹣CD.
(2)如圖2,當點D在線段BC的延長線上時,其它條件不變,請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系;
(3)如圖3,當點D在線段BC的反向延長線上時,且點A、F分別在直線BC的兩側,其它條件不變:①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系.②若連接正方形對角線AE、DF,交點為O,連接OC,探究△AOC的形狀,并說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)CF=BC+CD;(3)①CF=CD-BC;②△AOC是等腰三角形.理由見解析.
【解析】試題分析:(1)、①、根據等腰直角的性質得出∠ABC=∠ACB=45°,從而得出四邊形ADEF是正方形,根據∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°得出∠BAD=∠CAF,從而得出△BAD和△CAF全等,則∠ACF=∠ABD=45°,從而得出垂直;②、根據 全等得出BD=CF,從而得出結論;(2)、根據(1)的證法的采購員BD=CF,得出CF=BC+CD;(3)、①、根據(1)的證法得出BD=CF,從而得出CF=CD-BC;②、∠BAC=90°,AB=AC得出∠ABD=135°,根據四邊形ADEF是正方形得出∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,從而得出△BAD和△CAF全等,則∠ACF=135°,從而得出∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,得出△FCD為直角三角形,根據正方形的性質得出OC=OA,從而說明△FCD為等腰直角三角形.
試題解析:(1)、①、∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°, ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中, AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD=45°, ∴∠ACF+∠ACB=90°, ∴BD⊥CF;
②、由①△BAD≌△CAF可得BD=CF, ∵BD=BC-CD, ∴CF=BC-CD;
(2)、與(1)同理可得BD=CF, 所以,CF=BC+CD;
(3)、①、與(1)同理可得,BD=CF, 所以,CF=CD-BC;
②∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°, 則∠ABD=180°-45°=135°,
∵四邊形ADEF是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90° ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF, 在△BAD和△CAF中,AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°, ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,則△FCD為直角三角形,
∵正方形ADEF中,O為DF中點, ∴OC=DF ∵在正方形ADEF中,OA=AEAE=DF, ∴OC=OA,
∴△AOC是等腰三角形
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某校九年級數學興趣小組的同學調查了若干名家長對“初中學生帶手機上學”現(xiàn)象的看法,統(tǒng)計整理并制作了如下的條形與扇形統(tǒng)計圖.
依據圖中信息,得出下列結論:
(1)接受這次調查的家長人數為200人
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,“不贊同”的家長部分所對應的扇形圓心角大小為162°
(3)表示“無所謂”的家長人數為40人
其中正確的結論個數為( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【題目】如圖為某城市部分街道示意圖,四邊形ABCD為正方形,點G在對角線BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路線為B→A→G→E,小聰行走的路線為B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100m,則小聰行走的路程為 m.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】甲乙兩同學用兩枚質地均勻的骰子作游戲,規(guī)則如下:每人隨機擲兩枚骰子一次(若擲出的兩枚骰子摞在一起,則重擲),點數和大的獲勝;點數和相同為平局. 根據上述規(guī)則,解答下列問題;
(1)隨機擲兩枚骰子一次,用列表法求點數和為8的概率;
(2)甲先隨機擲兩枚骰子一次,點數和是7,求乙隨機擲兩枚骰子一次獲勝的概率. (骰子:六個面分別有1、2、3、4、5、6個小圓點的立方塊.點數和:兩枚骰子朝上的點數之和)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠B=60°,點P為BC邊上一點,設BP=x,AP2=y(如圖1),已知y是x的二次函數的一部分,其圖象如圖2所示,點Q(2,12)是圖象上的最低點.
(1)邊AB= , BC邊上的高AH=;
(2)當△ABP為直角三角形時,BP的長是多少.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某停車場收費標準分為中型汽車和小型汽車兩種,某兩天這個停車場的收費情況如下表:
中型汽車數量 | 小型汽車數量 | 收取費用 | |
第一天 | 15輛 | 35輛 | 360元 |
第二天 | 18輛 | 20輛 | 300元 |
(1)中型汽車和小型汽車的停車費每輛多少元?
(2)某天停車場共停車70輛,若收取的停車費用高于500元,則中型汽車至少有多少輛?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,甲、乙兩艘輪船同時從港口O出發(fā),甲輪船以20海里/時的速度向南偏東45°方向航行,乙輪船向南偏西45°方向航行.已知它們離開港口O兩小時后,兩艘輪船相距50海里,求乙輪船平均每小時航行多少海里?
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