Question

【題目】如圖，已知l1⊥l2 ， ⊙O與l1 ， l2都相切，⊙O的半徑為2cm，矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1 ， l2重合，AB=4 cm，AD=4cm，若⊙O與矩形ABCD沿l1同時向右移動，⊙O的移動速度為3cm/s，矩形ABCD的移動速度為4cm/s，設移動時間為t（s）

（1）如圖①，連接OA、AC，則∠OAC的度數(shù)為°；
（2）如圖②，兩個圖形移動一段時間后，⊙O到達⊙O1的位置，矩形ABCD到達A1B1C1D1的位置，此時點O1 ， A1 ， C1恰好在同一直線上，求圓心O移動的距離（即OO1的長）；
（3）在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，設該距離為d（cm），當d＜2時，求t的取值范圍（解答時可以利用備用圖畫出相關示意圖）．

Answer 1

【答案】
（1）105
（2）解：

如圖位置二，當O1，A1，C1恰好在同一直線上時，設⊙O1與l1的切點為E，

連接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，

在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4 ，

∴tan∠C1A1D1= ，∴∠C1A1D1=60°，

在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，

∴A1E= = ，

∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，

∴t﹣2= ，

∴t= +2，

∴OO1=3t=2 +6

（3）解：

①當直線AC與⊙O第一次相切時，設移動時間為t1，

如圖位置一，此時⊙O移動到⊙O2的位置，矩形ABCD移動到A2B2C2D2的位置，

設⊙O2與直線l1，A2C2分別相切于點F，G，連接O2F，O2G，O2A2，

∴O2F⊥l1，O2G⊥A2C2，

由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，

∴∠O2A2F=60°，

在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F= ，

∵OO2=3t1，AF=AA2+A2F=4t1+ ，

∴4t1+ ﹣3t1=2，

∴t1=2﹣ ，

②當直線AC與⊙O第二次相切時，設移動時間為t2，

記第一次相切時為位置一，點O1，A1，C1共線時位置二，第二次相切時為位置三，

由題意知，從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等，

∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2），

解得：t2=2+2 ，

綜上所述，當d＜2時，t的取值范圍是：2﹣ ＜t＜2+2

【解析】解：（1）∵l1⊥l2 ， ⊙O與l1 ， l2都相切， ∴∠OAD=45°，
∵AB=4 cm，AD=4cm，
∴CD=4 cm，
∴tan∠DAC= = = ，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度數(shù)為：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案為：105；
（1）利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關系分別求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，進而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，進而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①當直線AC與⊙O第一次相切時，設移動時間為t1 ， ②當直線AC與⊙O第二次相切時，設移動時間為t2 ， 分別求出即可．