Question

在正方形ABCD中，點M是射線BC上一點，點N是CD延長線上一點，且BM=DN．直線BD與MN相交于E．

（1）如圖1，當點M在BC上時，求證：BD－2DE=BM；

（2）如圖2，當點M在BC延長線上時，BD、DE、BM之間滿足的關系式是 ；

（3）在（2）的條件下，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若DE=，且AF：FD=1：2時，求線段DG的長．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）BD+2DE=BM；（3）．

【解析】

試題分析：（1）過點M作MF⊥BC交BD于點F，推出FM=DN，根據AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據正方形的性質和勾股定理求出即可；

（2）過點M作MF⊥BC交BD于點F，推出FM=DN，根據AAS證△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根據正方形的性質和勾股定理求出即可；

（3）根據已知求出CM的長，證△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD長，求出FM長即可．

試題解析：（1）過點M作MF⊥BC交BD于點F，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠C=90°，

∴FM∥CD，

∴∠NDE=∠MFE，

∴FM=BM，

∵BM=DN，

∴FM=DN，

在△EFM和△EDN中，

，

∴△EFM≌△EDN，

∴EF=ED，

∴BD-2DE=BF，

根據勾股定理得：BF=BM，

即BD-2DE=BM．

（2）過點M作MF⊥BC交BD于點F，與（1）證法類似：BD+2DE=BF=BM，

（3）由（2）知，BD+2DE=BM，BD=BC，

∵DE=，

∴CM=2，

∵AB∥CD，

∴△ABF∽△DNF，

∴AF：FD=AB：ND，

∵AF：FD=1：2，

∴AB：ND=1：2，

∴CD：ND=1：2，

CD：（CD+2）=1：2，

∴CD=2，∴FD=，

∴FD：BM=1：3，

∴DG：BG=1：3，

∴DG=．

考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.相似三角形的判定與性質．