Question

拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），A（20，0），C（4，8），過C作平行于x軸的直線與拋物線另一交點(diǎn)為B，連OC，OB．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P由C以每秒2個(gè)單位的速度向B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A以每秒4個(gè)單位的速度向O運(yùn)動(dòng)，聯(lián)結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：
①當(dāng)PQ=OC時(shí)，求t的值；
②當(dāng)PQ⊥OB時(shí)，寫出t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；
（2）①利用已知表示出CO以及PQ的長，結(jié)合勾股定理求出即可；
②利用四邊形面積結(jié)合三角形面積公式得出等式

1

2

×

(16-6t)2+82

×8

5

=128-24t，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0），A（20，0），
∴設(shè)拋物線解析式為：y=ax（x-20）（a≠0），
∵拋物線過點(diǎn)C（4，8），
∴8=4a×（4-20），
解得：a=-

1

8

，
故拋物線解析式為：y=-

1

8

x²+

5

2

x；

（2）①過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，
設(shè)t秒后，可得P（4+2t，8），Q（20-4t，0），
則PM=8，QM=20-4t-（4+2t）=16-6t
若PQ=OC，
則（16-6t）²+8²=4²+8²，
解得：t₁=

10

3

，t₂=2，

②連接OP，BQ，
當(dāng)y=8，則8=-

1

8

x²+

5

2

x，
解得：x₁=4，x₂=16，
故B（16，8），則BO=8

5

，
∵PQ⊥OB，
∴S_{四邊形OPBQ}=

1

2

×BO×PQ=

1

2

×

(16-6t)2+82

×8

5

，
∵

1

2

×PB×8+

1

2

×QO×8=

1

2

（16-4-2t）×8+

1

2

×（20-4t）×8
=128-24t，
故

1

2

×

(16-6t)2+82

×8

5

=128-24t，
則80[（16-6t）²+64]=（128-24t）²，
整理得：t²-4t+4=0，
解得：t₁=t₂=2，
故當(dāng)PQ⊥OB時(shí)，t=2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及勾股定理和四邊形面積公式等知識(shí)，熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．