Question

【題目】通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad).如圖1，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解答下列問(wèn)題：

(1)sad60°＝ ；

(2)對(duì)于0°＜∠A＜180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是 ；

(3)如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值.

Answer 1

【答案】(1)1;(2) 0<sadA<2; (3) .

【解析】

（1）根據(jù)題意，判斷三角形為等邊三角形，然后根據(jù)正對(duì)的定義解答；

（2）求出0°和180°時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；

（3）如圖，在AB上取AD＝AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接CD，設(shè)AB＝5a，BC＝3a，則AC＝4a，然后求出CD的長(zhǎng)，再根據(jù)正對(duì)的定義解答即可.

解：(1)根據(jù)題意可知，當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角也為60°，

則該三角形為等邊三角形，

∴sad60°＝1，

故答案為1；

(2)當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadA接近0，

當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近腰長(zhǎng)的二倍，故sadA接近2，

故sadA的取值范圍為：0<sadA<2；

(3) 設(shè)AB＝5a，BC＝3a，則AC＝4a，

如圖，在AB上取AD＝AC＝4a，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接CD，

則DE＝AD·sinA＝4a·＝a，AE＝AD·cosA＝4a·＝a，

∴CE＝4a－a＝a，

∴在Rt△DCE中，

CD＝＝＝a，

∴sadA＝＝.