【題目】(1)(問題情境)小明遇到這樣一個(gè)問題:
如圖①,已知是等邊三角形,點(diǎn)為邊上中點(diǎn),,交等邊三角形外角平分線所在的直線于點(diǎn),試探究與的數(shù)量關(guān)系.
小明發(fā)現(xiàn):過作,交于,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)推理論證問題得到解決.請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)(類比探究)
如圖②,當(dāng)是線段上(除外)任意一點(diǎn)時(shí)(其他條件不變)試猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.
(3)(拓展應(yīng)用)
當(dāng)是線段上延長線上,且滿足(其他條件不變)時(shí),請判斷的形狀,并說明理由.
【答案】(1),理由見解析;(2),理由見解析;(3)是等邊三角形,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,從而證出是等邊三角形,即可證出,然后證出、,最后利用ASA即可證出,從而得出結(jié)論;
(2)過作交于,同理可知是等邊三角形,從而證出,再證出和,利用ASA即可證出,從而得出結(jié)論;
(3)根據(jù)等三角形的性質(zhì)和已知條件可得,再根據(jù)三線合一可得垂直平分,從而得出,再根據(jù)等邊三角形的判定即可證出結(jié)論.
解:(1),理由如下:
∵是等邊三角形,
∴,
∵,
∴,
∴是等邊三角形,
∴,
又,
∴,
∵是外角平分線,
∴,
∴,
∴
∵,
∴,
∴在與中,
∴,
∴;
(2)
證明:過作交于,
∵是等邊三角形,
∴是等邊三角形,
∴BF=BD
∴
∵,,
∴
∵是外角平分線,
∴,
∴,
∴
在與中,
∴,
∴;
(3)是等邊三角形,
∵是等邊三角形,
∴,
∵,
∴,
∵是等邊三角形外角平分線.
∴垂直平分,
∴,
∵,
∴是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,在中,,D是AB上的點(diǎn),過點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)F,交AC的延長線于點(diǎn)E,連接CD,,則下列結(jié)論正確的有( )
①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等邊三角形;④若∠E=30°,則DE=EF+CF.
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高服務(wù)質(zhì)量,某賓館決定對甲、乙兩種套房進(jìn)行星級提升,已知甲種套房提升費(fèi)用比乙種套房提升費(fèi)用少3萬元,如果提升相同數(shù)量的套房,甲種套房費(fèi)用為625萬元,乙種套房費(fèi)用為700萬元.
(1)甲、乙兩種套房每套提升費(fèi)用各多少萬元?
(2)如果需要甲、乙兩種套房共80套,市政府籌資金不少于2090萬元,但不超過2096萬元,且所籌資金全部用于甲、乙種套房星級提升,市政府對兩種套房的提升有幾種方案?哪一種方案的提升費(fèi)用最少?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,下列結(jié)論:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④BE=DE;⑤SBDE:S△ACD=BD:AC,其中正確的個(gè)數(shù)( )
A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E,交AB延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:BD=CD;
(2)求證:DC2=CEAC;
(3)當(dāng)AC=5,BC=6時(shí),求DF的長.
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【題目】如圖,一艘漁船正以60海里/小時(shí)的速度向正東方向航行,在A處測得島礁P在東北方向上,繼續(xù)航行1.5小時(shí)后到達(dá)B處,此時(shí)測得島礁P在北偏東30°方向,同時(shí)測得島礁P正東方向上的避風(fēng)港M在北偏東60°方向.為了在臺(tái)風(fēng)到來之前用最短時(shí)間到達(dá)M處,漁船立刻加速以75海里/小時(shí)的速度繼續(xù)航行_____小時(shí)即可到達(dá).(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB=90°,OC=2BO,AC=6,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)P作PD垂直x軸于點(diǎn)D,交線段AB于點(diǎn)E,使PE=DE.
①求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②在直線PD上是否存在點(diǎn)M,使△ABM為直角三角形?若存在,求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商家用1200元購進(jìn)了一批T恤,上市后很快售完,商家又用2800元購進(jìn)了第二批這種T恤,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍,但單價(jià)貴了5元.
(1)該商家購進(jìn)的第一批T恤是多少件?
(2)若兩批T恤按相同的標(biāo)價(jià)銷售,最后剩下20件按八折優(yōu)惠賣出,如果希望兩批T恤全部售完的利潤率不低于16%(不考慮其它因素),那么每件T恤的標(biāo)價(jià)至少是多少元?
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