Question

（2013•海珠區(qū)一模）隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，污染問(wèn)題日益嚴(yán)重．某環(huán)保廠家看到這個(gè)商機(jī)，以200萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)了某項(xiàng)空氣凈化產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再投入280萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)．已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每件30元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)定在40到50元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出銷(xiāo)售單價(jià)是45元時(shí)的年銷(xiāo)售量；
（2）求出年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求該公司第一年的年獲利W（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；并說(shuō)明投資的第一年，銷(xiāo)售單價(jià)定為多少時(shí)該廠家能獲得最大盈利？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象，找出單價(jià)45元時(shí)對(duì)應(yīng)的y值；
（2）分別在圖象上找出當(dāng)40＜x＜45和45＜x＜50時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)年獲利=銷(xiāo)售量×（單價(jià)-成本價(jià)）-200-280列出函數(shù)關(guān)系式，求出最大盈利即可．

解答：解：（1）根據(jù)圖象可得：銷(xiāo)售單價(jià)是45元時(shí)的年銷(xiāo)售量是30萬(wàn)件．  

（2）當(dāng)40≤x≤45時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
分別代入（40，40）和（45，30），
得：

40k+b=40 45k+b=30

，
解得：

k=-2 b=120

，
故函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x+120；
當(dāng)45＜x≤50時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，
分別代入（45，30）和（50，25），
得：

45m+n=30 50m+n=25

，
解得：

m=-1 n=75

，
故函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+75；
所以年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=

-2x+120(40≤x≤45) -x+75(45＜x≤50)

；

（3）該公司第一年的年獲利W（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
W=（x-30）y-200-280=

-2x2+180x-4080(40≤x≤45) -x2+105x-2730(45＜x≤50)

，
當(dāng)40≤x≤45時(shí)，
W=-2x²+180x-4080=-2（x-45）²-30，
開(kāi)口向下，有最大值，
當(dāng)x=45時(shí)，W_max=-30，
故此時(shí)廠家不管如何定銷(xiāo)售單價(jià)，都不可能盈利，
當(dāng)45＜x≤50時(shí)，
W=-x²+105x-2730=-（x-52.5）²+26，
開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=52.5，
故當(dāng)x=50時(shí)，W有最大值W_max=20，
答：銷(xiāo)售單價(jià)定為50元時(shí)，廠家能獲得最大盈利，最大利潤(rùn)是20萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及到分段函數(shù)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形求出x的不同范圍時(shí)的不同解析式，并熟練掌握運(yùn)用配方法求二次函數(shù)的最大值．