Question

如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為1cm/秒．設(shè)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜4），解答下列問題：
（1）求出P點(diǎn)的坐標(biāo)（用t表示）；
（2）求△OPQ面積S（cm²），與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）△OPQ能否是直角三角形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)△APM∽△ABO，可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)P作PN⊥OQ于點(diǎn)N，得到S與t的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出S的最大值以及對應(yīng)的t值．
（3）利用∠OPQ=90°時(shí)確定t的值．

解答：解：（1）如圖1，作PM⊥AO交AO于點(diǎn)M，

∵OA=3cm，OB=4cm，
∴AB=

9+16

=5cm．
∵△APM∽△ABO，
∴

MP

AP

=

OB

AB

=

AM

AO

，
∴MP=

4t

5

，AM=

3t

5

，
∴P（

4t

5

，3-

3t

5

）．
（2）如圖2：

過點(diǎn)P作PN⊥OQ于點(diǎn)N，則PN=3-

3

5

t，
S=

1

2

OQ•PN
=

1

2

t（3-

3t

5

）
=-

3

10

t²+

3

2

t，
∵a=-

3

10

＜0，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S有最大值，且S_最大值=

15

8

．
（3）△OPQ能成為直角三角形．
∵∠POQ＜90°，OQ=t＞ON，∠OQP＜90°，
∴只有∠OPQ可能是90°，
當(dāng)∠OPQ=90°時(shí)，
△OPN∽△PQN，
∴

PN

ON

=

NQ

PN

，
∴PN²=ON•NQ
（3-

3t

5

）²=

4t

5

×

t

5

，
解得：t₁=3，t₂=15，
∵OB=4＜15，
∴t=3．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是三角形相似的判定及性質(zhì)的應(yīng)用．