Question

如圖，P是正△ABC內(nèi)的一點，且PA=6，PB=8，PC=10．若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB．
（1）求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；
（2）求點P與點P′之間的距離；
（3）求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點：等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由∠BAC=60°可知旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；
（2）由已知△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋轉(zhuǎn)角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′為等邊三角形，即可求得PP′；
（3）由△APP′為等邊三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度數(shù)．

解答：解：（1）由∠BAC=60°可知旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°；

（2）連接PP′，由題意可知AP′=AP=6，
∵旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°，
∴∠PAP′=60°．
∴△APP′為等邊三角形，
∴PP′=AP=AP′=6；

（3）∵BP′=PC=10，BP=8，PP′=6，
∴PP′²+BP²=BP′²，
∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°
∴∠APB=∠BPP′+∠APP′=90°+60°=150°．

點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．