Question

【題目】如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD與BC相交于點(diǎn)E，AE=ED，延長(zhǎng)DB到點(diǎn)F，使FB=BD，連接AF．

（1）證明：△BDE∽△FDA；

（2）試判斷直線(xiàn)AF與⊙O的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）直線(xiàn)AF與⊙O相切.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可知AE=ED，F(xiàn)B=BD，從而得到，然后根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩三角形相似，可證明；

（2）通過(guò)證明△OAB∽△OAC可證明AO⊥BC，再利用“同位角相等，兩直線(xiàn)平行”可證明EF∥FA，從而得到AO⊥FA，即可證明.

試題解析：（1）在△BDE和△FDA中，

∵FB=BD，AE=ED，AD=AE+ED，F(xiàn)D=FB+BD

∴，

又∵∠BDE=∠FDA，

∴△BDE∽△FDA．

（2）直線(xiàn)AF與⊙O相切．

證明：連接OA，OB，OC，

∵AB=AC，BO=CO，OA=OA，

∴△OAB≌△OAC，

∴∠OAB=∠OAC，

∴AO是等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線(xiàn)，

∴=，

∴AO⊥BC，

∵△BDE∽△FDA，得∠EBD=∠AFD，

∴BE∥FA，

∵AO⊥BE，∴AO⊥FA，

∴直線(xiàn)AF與⊙O相切．