Question

【題目】如圖，中，，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)（即）與交于一點(diǎn)，（即）與交于一點(diǎn)時(shí)，給出以下結(jié)論：①；②；③；④的周長的最小值是.其中正確的是( )

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意可證△ABE≌△BDF，可判斷①②③，由△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，則當(dāng)EF最小時(shí)△DEF的周長最小，根據(jù)垂線段最短，可得BE⊥AD時(shí)，BE最小，即EF最小，即可求此時(shí)△BDE周長最小值．

解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°
∴△ABD，△BCD為等邊三角形，
∴∠A=∠BDC=60°，
∵將△BCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△BC'D'位置，
∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，
∴△ABE≌△BFD，
∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，
∴∠BED+∠BFD=180°，
故①正確，③錯(cuò)誤；
∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=60°，
故②正確
∵△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，
∴當(dāng)EF最小時(shí)，∵△DEF的周長最小．
∵∠EBF=60°，BE=BF，
∴△BEF是等邊三角形，
∴EF=BE，
∴當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE長度最小，即EF長度最小，
∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，

∴EB=，

∴△DEF的周長最小值為4+，
故④正確，

綜上所述：①②④說法正確，
故選：B．