Question

如圖，在直角坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x²+bx﹣2的圖象經過C點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？

（3）點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）首先構造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點C的坐標；然后利用點C的坐標求出拋物線的解析式；

（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設直線l與BC、AC交于點E、F，則可求出EF的表達式；根據S_△CEF=S_△ABC，列出方程求出直線l的解析式；

（3）首先作出▱PACB，然后證明點P在拋物線上即可．

【解答】解：（1）如答圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠CAD+∠ACD=90°．

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，

∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．

∵在△AOB與△CDA中，

∴△AOB≌△CDA（ASA）．

∴CD=OA=1，AD=OB=2，

∴OD=OA+AD=3，

∴C（3，1）．

∵點C（3，1）在拋物線y=x²+bx﹣2上，

∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．

∴拋物線的解析式為：y=x²﹣x﹣2，

；

 

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．

∴S_△ABC=AB²=．

設直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），

∴，

解得k=﹣，b=2，

∴y=﹣x+2．

同理求得直線AC的解析式為：y=x﹣．

如答圖1所示，

設直線l與BC、AC分別交于點E、F，則EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．

△CEF中，EF邊上的高h=OD﹣x=3﹣x．

由題意得：S_△CEF=S_△ABC，

即： EF•h=S_△ABC，

∴×（﹣x）•（3﹣x）=×，

整理得：（3﹣x）²=3，

解得x=3﹣或x=3+（不合題意，舍去），

∴當直線l解析式為x=3﹣時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分．

 

（3）存在．

如答圖2所示，

過點C作CG⊥y軸于點G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．

過點A作AP∥BC交y軸于點W，

∵四邊形ACBP是平行四邊形，

∴AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行四邊形．

過點P作PH⊥x軸于點H，

∵BC∥AP，

∴∠CBO=∠AWO，

∵PH∥WO，

∴∠APH=∠AWO，

∴∠CBG=∠APH，

在△PAH和△BCG中，

∴△PAH≌△BCG（AAS），

∴PH=BG=1，AH=CG=3，

∴OH=AH﹣OA=2，

∴P（﹣2，1）．

拋物線解析式為：y=x²﹣x﹣2，當x=﹣2時，y=1，即點P在拋物線上．

∴存在符合條件的點P，點P的坐標為（﹣2，1）．

【點評】本題考查了二次函數綜合題型以及二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、待定系數法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識點．試題難度不大，但需要仔細分析，認真計算．