Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，對稱中心為點P，點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=60°，圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于直線AC成軸對稱，設(shè)它們的面積和為S₁．

（1）求證：∠APE=∠CFP；

（2）設(shè)四邊形CMPF的面積為S₂，CF=x，．

①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；

②當(dāng)圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點P成中心對稱時，求y的值．

Answer 1

解：（1）∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABC是等邊三角形�！唷螧AC=∠ACB=60°。

∴∠CFP+∠FPC=180°－60°=120°。

又∵∠EPF=60°，∴∠APE+∠FPC=180°－60°=120°。

∴∠APE=∠CFP。

（2）①∵∠APE=∠CFP，且∠FCP=∠PAE=60°，∴△APE∽△CPF，∴。

     ∵菱形ABCD的邊長為4，△ABC是等邊三角形，∴AC=4。

又∵P為菱形的對稱中心，∴AP=CP=2。

∴，即。

如圖，過點P作PH⊥BC于點H，PG⊥AB于點G，

∵AP=CP=2，∠GAP=∠HCP=60°，且PH=PG=。

∴，，。

②圖中兩塊陰影部分圖形關(guān)于點P成中心對稱，而此兩塊圖形也關(guān)于直線AC成軸對稱，則陰影部分圖形自身關(guān)于直線BD對稱，

則EB=BF，即AE=FC，∴=x，解得x=2，

代入，得。

【考點】單動點問題，菱形的性質(zhì)，軸對稱和中心對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由實際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用。