Question

已知⊙O的半徑為4，A，B，C，D是圓上的四個點，且AB=BC=CD=2，那么AD的長為（　�。�

• A、2

  6

• B、5.5
• C、2

  5

• D、5.4

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,等腰梯形的判定

專題：計算題

分析：作BH⊥AD于H，OE⊥BC于E，交AD于F，連接OA、OB，如圖，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系由AB=CD=2得到弧AB=弧CD，則BC∥AD，于是可判斷四邊形ABCD為等腰梯形，由OE⊥BC得到OF⊥AD，根據(jù)垂徑定理得BE=EC=1，AF=DF，在Rt△△OBE中，利用勾股定理計算出OE=

15

，設(shè)AD=2x，則AF=x，AH=AF-HF=x-1，在Rt△ABH中，利用勾股定理得BH=

22-(x-1)2

，則OF=

15

-

22-(x-1)2

，在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得到（

15

-

22-(x-1)2

）²+x²=16，
整理得4x²-7x-11=0，解得x₁=-1，x₂=

11

4

，然后利用AD=2x計算即可．

解答：解：作BH⊥AD于H，OE⊥BC于E，交AD于F，連接OA、OB，如圖，
∵AB=CD=2，
∴弧AB=弧CD，
∴BC∥AD，
∴四邊形ABCD為等腰梯形，
∵OE⊥BC，
∴OF⊥AD，
∴BE=EC=1，AF=DF，
在Rt△△OBE中，OE=

OB2-BE2

=

42-12

=

15

，
設(shè)AD=2x，則AF=x，AH=AF-HF=x-1，
在Rt△ABH中，BH=

AB2-AH2

=

22-(x-1)2

，
∴OF=OE-EF=OE-BH=

15

-

22-(x-1)2

，
在Rt△AOF中，∵OF²+AF²=OA²，
∴（

15

-

22-(x-1)2

）²+x²=16，
整理得4x²-7x-11=0，解得x₁=-1，x₂=

11

4

∴AD=2x=5.5．
故選D．

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了勾股定理和等腰梯形的判定．