Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是半圓圓角上的一點(diǎn)，連結(jié)AD，過點(diǎn)B作⊙O的切線BC交AD的延長線于點(diǎn)C，E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE，延長DE交AB的延長線于點(diǎn)F，連接BD．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若DE=

1

2

EF=2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OD，由E為中點(diǎn)，AB為直徑可知ED=EB，可得∠EDB=∠EBD，且∠ODB=∠OBD，又CB為切線，可知∠EBD+∠OBD=90°，可得∠ODE=90°，可得DF為切線；
（2）結(jié)合（1）可得BE=DE=2，EF=4，所以可得∠F=30°，可求得OD的長和∠DOB=60°，再利用△ODF的面積減去扇形BOD的面積可求得陰影部分面積．

解答：（1）證明：
連接OD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠BDC=90°，且E為BC中點(diǎn)，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，
∵BC為切線，
∴∠OBE=90°，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF為⊙O的切線；
（2）解：
∵DE=BE，
∴BE=2，EF=4，
∴在Rt△BEF中，∠F=30°，
又DF為切線，∴∠DOB=60°，
在Rt△ODF中，DF=2+4=6，∠F=30°，
∴OD=2

3

，
∴S_扇形BOD=

1

6

π•OD²=2π，S_△ODF=

1

2

OD•DF=6

3

，
∴S_陰影=S_△ODF-S_扇形BOD=6

3

-2π．

點(diǎn)評：本題主要考查切線的性質(zhì)和判定及扇形的計算，掌握切線問題中的兩種輔助線的作法及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．