Question

大學(xué)生小張利用暑假50天在一超市勤工儉學(xué)，被安排銷售一款成本為40元/件的新型商品，此類新型商品在第x天的銷售量p件與銷售的天數(shù)x的關(guān)系如下表：

x（天）	1	2	3	…	50
p（件）	118	116	114	…	20

銷售單價(jià)q（元/件）與x滿足：當(dāng)1≤x＜25時(shí)q=x+60；當(dāng)25≤x≤50時(shí)q=40+

1125

x

．
（1）請(qǐng)分析表格中銷售量p與x的關(guān)系，求出銷售量p與x的函數(shù)關(guān)系．
（2）求該超市銷售該新商品第x天獲得的利潤(rùn)y元關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）這50天中，該超市第幾天獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用,反比例函數(shù)的應(yīng)用

專題：銷售問(wèn)題

分析：（1）由表格可以看出銷售量p件與銷售的天數(shù)x成一次函數(shù)，設(shè)出函數(shù)解析式，進(jìn)一步代入求得答案即可；
（2）利用利潤(rùn)=售價(jià)-成本，分別求出在1≤x＜25和25≤x≤50時(shí)，求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用（2）中的函數(shù)解析式分別求得最大值，然后比較兩者的大小得出答案即可．

解答：解：（1）設(shè)銷售量p件與銷售的天數(shù)x的函數(shù)解析式為p=kx+b，
代入（1，118），（2，116）得

k+b=118 2k+b=116

解得

k=-2 b=120

因此銷售量p件與銷售的天數(shù)x的函數(shù)解析式為p=-2x+120；

（2）當(dāng)1≤x＜25時(shí)，
y=（60+x-40）（-2x+120）
=-2x²+80x+2400，
當(dāng)25≤x≤50時(shí)，
y=（40+

1125

x

-40）（-2x+120）
=

135000

x

-2250；

（3）當(dāng)1≤x＜25時(shí)，
y=-2x²+80x+2400，
=-2（x-20）²+3200，
∵-2＜0，
∴當(dāng)x=20時(shí)，y有最大值y₁，且y₁=3200；
當(dāng)25≤x≤50時(shí)，
y=

135000

x

-2250；
∵135000＞0，
∴

135000

x

隨x的增大而減小，
當(dāng)x=25時(shí)，

135000

x

最大，
于是，x=25時(shí)，y=

135000

x

-2250有最大值y₂，且y₂=5400-2250=3150．
∵y₁＞y₂
∴這50天中第20天時(shí)該超市獲得利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3200元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)以及最值得求法，此題難度不大．