Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的頂點為A．二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對稱軸上．
（1）求點A與點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)四邊形AOBC為菱形時，求函數(shù)y=ax²+bx的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)y=ax²+bx的頂點在已知二次函數(shù)拋物線的對稱軸上，可知兩個函數(shù)對稱軸相等，因此先根據(jù)已知函數(shù)求出對稱軸．根據(jù)函數(shù)解析式得出頂點A的坐標(biāo)與對稱軸，故可得出二次函數(shù)y=ax²+bx關(guān)于x=1對稱，且函數(shù)與x軸的交點分別是原點和C點，所以點C和點O關(guān)于直線l對稱，故可得出點C的坐標(biāo)；
（2）因為四邊形AOBC是菱形，根據(jù)菱形性質(zhì)，可以得出點O和點C關(guān)于直線AB對稱，點B和點A關(guān)于直線OC對稱，因此，可求出點B的坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過點B（1，2），C（2，0），將B，C代入解析式得出ab的值，進(jìn)而得出其解析式．

解答：解：（1）∵y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴頂點A的坐標(biāo)為（1，-2）．
∵二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對稱軸上．
∴二次函數(shù)y=ax²+bx的對稱軸為：直線x=1，
∴點C和點O關(guān)于直線x=1對稱，
∴點C的坐標(biāo)為（2，0）．

（2）因為四邊形AOBC是菱形，所以點B和點A關(guān)于直線OC對稱，
因此，點B的坐標(biāo)為（1，2）．
因為二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過點B（1，2），C（2，0），
所以

a+b=2 4a+2b=0

，
解得

a=-2 b=4

，
所以二次函數(shù)y=ax²+bx的關(guān)系式為y=-2x²+4x．

點評：本題主要考查利用二次函數(shù)和菱形的對稱性求有關(guān)的點，再用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，是難度中等的考題．