【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖).已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B(0,),頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D在其對(duì)稱(chēng)軸上且位于點(diǎn)C下方,將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式;
(2)求線段CD的長(zhǎng);
(3)將拋物線平移,使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)O的位置,這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置,如果點(diǎn)M在y軸上,且以O、D、E、M為頂點(diǎn)的四邊形面積為8,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+;(2)線段CD的長(zhǎng)為2;(3)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,)或(0,﹣).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;
(2)利用配方法得到y=﹣(x﹣2)2+,則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到C點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,如圖,設(shè)CD=t,則D(2,﹣t),根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠PDC=90°,DP=DC=t,則P(2+t,﹣t),然后把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得到關(guān)于t的方程,從而解方程可得到CD的長(zhǎng);
(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,),D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,),利用拋物線的平移規(guī)律確定E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣2),設(shè)M(0,m),當(dāng)m>0時(shí),利用梯形面積公式得到(m++2)2=8當(dāng)m<0時(shí),利用梯形面積公式得到(﹣m++2)2=8,然后分別解方程求出m即可得到對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo).
(1)把A(﹣1,0)和點(diǎn)B(0,)代入y=﹣x2+bx+c得
,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+;
(2)∵y=﹣(x﹣2)2+,
∴C(2,),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,
如圖,設(shè)CD=t,則D(2,﹣t),
∵線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處,
∴∠PDC=90°,DP=DC=t,
∴P(2+t,﹣t),
把P(2+t,﹣t)代入y=﹣x2+2x+得﹣(2+t)2+2(2+t)+=﹣t,
整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2,
∴線段CD的長(zhǎng)為2;
(3)P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,),D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,),
∵拋物線平移,使其頂點(diǎn)C(2,)移到原點(diǎn)O的位置,
∴拋物線向左平移2個(gè)單位,向下平移個(gè)單位,
而P點(diǎn)(4,)向左平移2個(gè)單位,向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)E,
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣2),
設(shè)M(0,m),
當(dāng)m>0時(shí),(m++2)2=8,解得m=,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,);
當(dāng)m<0時(shí),(﹣m++2)2=8,解得m=﹣,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣);
綜上所述,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,)或(0,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某水泥廠的倉(cāng)庫(kù)天內(nèi)進(jìn)出庫(kù)的噸數(shù)記錄如下(+表示進(jìn)庫(kù),-表示出庫(kù)):
(1)經(jīng)過(guò)這天,水泥倉(cāng)庫(kù)里的水泥是增多了還是減少了?增多或減少了多少?lài)崳?/span>
(2)經(jīng)過(guò)這天,水泥倉(cāng)庫(kù)管理員結(jié)算時(shí)發(fā)現(xiàn)還庫(kù)存有噸水泥,那么天前水泥倉(cāng)庫(kù)里存有水泥多少?lài)崳?/span>
(3)如果進(jìn)倉(cāng)庫(kù)的水泥每噸運(yùn)費(fèi)為元,出倉(cāng)庫(kù)的水泥每噸運(yùn)費(fèi)為元,那么這天共要付多少元運(yùn)費(fèi)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種水泥儲(chǔ)存罐的容量為25立方米,它有一個(gè)輸入口和一個(gè)輸出口.從某時(shí)刻開(kāi)始,只打開(kāi)輸入口,勻速向儲(chǔ)存罐內(nèi)注入水泥,3分鐘后,再打開(kāi)輸出口,勻速向運(yùn)輸車(chē)輸出水泥,又經(jīng)過(guò)2.5分鐘儲(chǔ)存罐注滿(mǎn),關(guān)閉輸入口,保持原來(lái)的輸出速度繼續(xù)向運(yùn)輸車(chē)輸出水泥,當(dāng)輸出的水泥總量達(dá)到8立方米時(shí),關(guān)閉輸出口.儲(chǔ)存罐內(nèi)的水泥量y(立方米)與時(shí)間x(分)之間的部分函數(shù)圖象如圖所示.
(1)求每分鐘向儲(chǔ)存罐內(nèi)注入的水泥量.
(2)當(dāng)3≤x≤5.5時(shí),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)儲(chǔ)存罐每分鐘向運(yùn)輸車(chē)輸出的水泥量是 立方米,從打開(kāi)輸入口到關(guān)閉輸出口共用的時(shí)間為 分鐘.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】完成下列推理過(guò)程:
已知:如圖,∠1+∠2=180°,∠3=∠B
求證:∠EDG+∠DGC=180°
證明:∵∠1+∠2=180°(已知)
∠1+∠DFE=180°( )
∴∠2= ( )
∴EF∥AB( )
∴∠3= ( )
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠B=∠ADE( )
∴DE∥BC( )
∴∠EDG+∠DGC=180°( )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC與△CDE都是等邊三角形,B,C,D在一條直線上,連結(jié)B,E兩點(diǎn)交AC于點(diǎn)M,連結(jié)A,D兩點(diǎn)交CE于N點(diǎn).
(1)AD與BE有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)求證:△MNC是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化,我市某中學(xué)決定根據(jù)學(xué)生的興趣愛(ài)好組建課外興趣小組,因此學(xué)校隨機(jī)抽取了部分同學(xué)的興趣愛(ài)好進(jìn)行調(diào)查,將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成下列兩幅統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中的信息,完成下列問(wèn)題:
(1)學(xué)校這次調(diào)查共抽取了 名學(xué)生;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“戲曲”所在扇形的圓心角度數(shù)為 ;
(4)設(shè)該校共有學(xué)生2000名,請(qǐng)你估計(jì)該校有多少名學(xué)生喜歡書(shū)法?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了促進(jìn)學(xué)生多樣化發(fā)展,某中學(xué)每周五組織學(xué)生開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng),分別設(shè)置了體育、舞蹈、文學(xué)、音樂(lè)社團(tuán)(要求人人參加社團(tuán),并且每人只能參加一項(xiàng)),為了解學(xué)生喜歡哪種社團(tuán)活動(dòng),學(xué)校組織學(xué)生會(huì)成員隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)此次共調(diào)查了______名學(xué)生;
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)圖2中音樂(lè)社團(tuán)所在扇形的圓心角的度數(shù)為______;
(4)若該校共有學(xué)生1600人,估計(jì)該校喜愛(ài)體育社團(tuán)的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】郵遞員騎車(chē)從郵局出發(fā),先向西騎行 2 km 到達(dá) A 村,繼續(xù)向西騎行 3 km 到達(dá) B 村, 然后向東騎行 9 km 到達(dá) C 村,最后回到郵局.
(1)以郵局為原點(diǎn),以向東方向?yàn)檎较,?/span> 1 cm 表示 1 km 畫(huà)數(shù)軸,并在該數(shù)軸上表示 A,B,C 三個(gè)村莊的位置;
(2)C 村離 A 村有多遠(yuǎn)?
(3)郵遞員一共騎行了多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校組織七年級(jí)學(xué)生體育健康抽測(cè),(1)班25名學(xué)生的成績(jī)(滿(mǎn)分為100分)統(tǒng)計(jì)如下:
90,74,88,65,98,76,81,42,85,70,55,80,95,88,72,87,61,56,76,66,78,72,82,63,100.
(1)90分及以上為A級(jí),75-89分為B級(jí),60-74分為C級(jí),60分以下為D級(jí),請(qǐng)把下面表格補(bǔ)充完整,并將圖中的條形圖補(bǔ)充完整;
等級(jí) | A | B | C | D |
人數(shù) | 8 |
(2)該校七年級(jí)共有1000名學(xué)生,如果60分以上為合格,請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)有多少人合格?
(3)請(qǐng)選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表示出抽測(cè)中每一個(gè)等級(jí)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.
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