Question

（2013•天水）如圖1，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉，使邊AO與AB重合，得到△ABD．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當點P運動到點（，0）時，求此時DP的長及點D的坐標；
（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．設直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋轉得到，證明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標．
（3）本題分三種情況進行討論，設點P的坐標為（t，0）：
①當P在x軸正半軸上時，即t＞0時，關鍵是求出D點的縱坐標，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根據BD即OP的長和∠DBG的正弦函數求出DG的表達式，即可求出DH的長，根據已知的△OPD的面積可列出一個關于t的方程，即可求出t的值．
②當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時．即＜t≤0時，方法同①類似，也是在直角三角形DBG用BD的長表示出DG，進而求出GF的長，然后同①．
③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤時，方法同②．
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值．
解答：解：（1）如圖1，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．由已知得：
BF=OE=2，OF==，
∴點B的坐標是（，2）
設直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），則有．
解得．
∴直線AB的解析式是y=x+4；

（2）如圖2，∵△ABD由△AOP旋轉得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等邊三角形，
∴DP=AP=．
如圖2，過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°=×=．
DG=BD•sin60°=×=．
∴OH=EG=，DH=
∴點D的坐標為（，）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4，
則有，解得BG=，DG=；
∴OH=，DH=；
∴點D的坐標為（，）．

（3）假設存在點P，在它的運動過程中，使△OPD的面積等于．
設點P為（t，0），下面分三種情況討論：
①當t＞0時，如圖，BD=OP=t，DG=t，
∴DH=2+t．
∵△OPD的面積等于，
∴，
解得，（舍去）
∴點P₁的坐標為（，0）．
②∵當D在x軸上時，根據勾股定理求出BD==OP，
∴當＜t≤0時，如圖，BD=OP=-t，DG=-t，
∴GH=BF=2-（-t）=2+t．
∵△OPD的面積等于，
∴，
解得，，
∴點P₂的坐標為（，0），點P₃的坐標為（，0）．
③當t≤時，如圖3，BD=OP=-t，DG=-t，

∴DH=-t-2．
∵△OPD的面積等于，
∴（-t）【-（2+t）】=，
解得（舍去），
∴點P₄的坐標為（，0），
綜上所述，點P的坐標分別為P₁（，0）、P₂（，0）、P₃（，0）、
P₄（，0）．
點評：本題綜合考查的是一次函數的應用，難度較大．