Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是（　　）

①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°； ③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據角平分線的作法可得①正確，再根據三角形內角和定理和外角與內角的關系可得∠ADC=60°，再根據線段垂直平分線的性質逆定理可得③正確，根據直角三角形的性質得出AD=2CD，再由線段垂直平分線的性質得出AD=BD，進而可得④正確．

解：由題意可知AD是∠BAC的平分線，故①正確；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠DAC= 30°，
∴∠ADC=30°+30°=60°，故②正確；
∵∠DAB=30°，∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點D在AB的中垂線上，故③正確；
∵∠CAD=30°，
∴AD=2CD．
∵點D在AB的中垂線上，
∴AD=BD，

∵∠DAC= 30°，∠C=90°，
∴AD=2CD，BC=3CD
∴S△DAC：S△ABC=1：3，故④正確．
故選：D．