【題目】定義:我們知道,四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形,如果這兩個三角形相似(不全等),我們就把這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線

(1)如圖1,已知四邊形在正方形網(wǎng)格中,頂點都在格點上,判斷:四邊形______(不是”)相似對角線的四邊形;

(2)如圖,在四邊形中,,,對角線平分.求證:是四邊形相似對角線

(3)如圖,已知是四邊形相似對角線.連接,若的面積為,求的長.

【答案】1)是;(2)見解析;(34

【解析】

1)先根據(jù)勾股定理計算出ABBC的長,再得出,結(jié)合∠ABC=ACD=90°,可得出△ABC∽△ACD,從而可得出結(jié)果;

2)先判斷出∠A+ADB=140°=ADC,從而可得出∠A=BDC,證明△ABD∽△DBC即可得出結(jié)論;
3)由已知可知△FEH∽△FHG,得出FH2=FEFG;過點EEQFGQ,繼而得出EQ=FE,再結(jié)合的面積為求出FGFE=16,從而可得出結(jié)論.

1)解:根據(jù)勾股定理得,

AB=,BC=,

AC=5,∴AB2+BC2=AC2,∴∠ABC=90°=ACD,

,

,

∴△ABC∽△ACD

∴四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形.

故答案為:是;

2)證明:如圖2中,
∵∠ABC=80°,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=DBC=40°,
∴∠A+ADB=140°
∵∠ADC=140°,
∴∠BDC+ADB=140°,
∴∠A=BDC,
∴△ABD∽△DBC,
BD是四邊形ABCD的“相似對角線”;
3)解:如圖3,
FH是四邊形EFGH的“相似對角線”,
∴△EFH與△HFG相似,
∵∠EFH=HFG
∴△FEH∽△FHG,

FH2=FEFG,
過點EEQFGQ,

=30°,∴∠EFG=60°,
EQ=FEsin60°=FE,

,

,

FGFE=16
FH2=FEFG=16,
FH=4

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