【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,過E作EF⊥AD于F.
(1)求證:四邊形ABEF是正方形;
(2)連接BF交AE于點O,連接DO,若CD=2,CE=1,求OD的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)OD的長為.
【解析】
(1)先根據(jù)矩形的判定可得出四邊形ABEF是矩形,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得,然后根據(jù)正方形的判定即可得證;
(2)如圖(見解析),過點O作于點G,先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出點O為AE的中點,再根據(jù)中位線定理可得的長,從而可得DG的長,然后利用勾股定理求解即可.
(1)四邊形ABCD是矩形
四邊形ABEF是矩形
又平分
(角平分線的性質(zhì))
矩形ABEF是正方形
即四邊形ABEF是正方形;
(2)如圖,過點O作于點G,則
同(1)可得:四邊形CDFE是矩形
由(1)可知,四邊形ABEF是正方形
,點O是對角線AE的中點
OG是的中位線
,點G是AF的中點
在中,
故OD的長為.
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【題目】定義:我們知道,四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形,如果這兩個三角形相似(不全等),我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”.
(1)如圖1,已知四邊形在正方形網(wǎng)格中,頂點都在格點上,判斷:四邊形______(填“是”或“不是”)以為“相似對角線”的四邊形;
(2)如圖,在四邊形中,,,對角線平分.求證:是四邊形的“相似對角線”;
(3)如圖,已知是四邊形的“相似對角線”,.連接,若的面積為,求的長.
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【題目】如圖①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D為BC邊上一點(不與點B,C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE,連接EC,則:
(1)①∠ACE的度數(shù)是 ; ②線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關系是 .
(2)如圖②,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為BC邊上一點(不與點B,C重合),將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,請判斷線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關系,并說明理由;
(3)如圖②,AC與DE交于點F,在(2)條件下,若AC=8,求AF的最小值.
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【題目】如圖, 已知二次函數(shù)(,,為常數(shù))的對稱軸為,與軸的交點為,的最大值為5,頂點為,過點且平行于軸的直線與拋物線交于點,.
(1)求該二次函數(shù)的解析式和點,的坐標.
(2)點是直線上的動點,若點,點,點所構(gòu)成的三角形與相似,求出所有點的坐標.
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【題目】甲、乙兩個工程隊共同承擔一項筑路任務,甲隊單獨施工完成此項任務比乙隊單獨施工完成此項任務多用10天,且甲隊單獨施工45天和乙隊單獨施工30天的工作量相同.
(1)甲、乙兩隊單獨完成此項任務各需多少天?
(2)若甲、乙兩隊共同工作了3天后,乙隊因設備檢修停止施工,由甲隊繼續(xù)施工,為了不影響工程進度,甲隊的工作效率提高到原來的2倍,要使甲隊總的工作量不少于乙隊的工作量的2倍,那么甲隊至少再單獨施工多少天?
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【題目】為了解某地區(qū)七年級學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況,從該地區(qū)隨機抽取部分七年級學生作為樣本,采用問卷調(diào)查的方法收集數(shù)據(jù)(參與問卷調(diào)查的每名同學只能選擇其中一類節(jié)目),并調(diào)查得到的數(shù)據(jù)用下面的表和扇形圖來表示(表、圖都沒制作完成)
根據(jù)表、圖提供的信息,解決以下問題:
(1)計算出表中a、b的值;
(2)求扇形統(tǒng)計圖中表示“動畫”部分所對應的扇形的圓心角度數(shù);
(3)若該地區(qū)七年級學生共有47500人,試估計該地區(qū)七年級學生中喜愛“新聞”類電視節(jié)目的學生有多少人?
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【題目】如圖,拋物線經(jīng)過的三個頂點,與軸相交于,點坐標為,點是點關于軸的對稱點,點在軸的正半軸上.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點為線段上一動點,過點作軸,軸, 垂足分別為點,,當四邊形為正方形時,求出點的坐標;
(3)將(2) 中的正方形沿向右平移,記平移中的正方形為正方形,當點和點重合時停止運動, 設平移的距離為,正方形的邊與交于點,所在的直線與交于點, 連接,是否存在這樣的,使是等腰三角形?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】隨著我國經(jīng)濟社會的發(fā)展,人民對于美好生活的追求越來越高.某社區(qū)為了了解家庭對于文化教育的消費悄況,隨機抽取部分家庭,對每戶家庭的文化教育年消費金額進行問卷調(diào)査,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖表.
請你根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息,解答下列問題:
組別 | 家庭年文化教育消費金額x(元) | 戶數(shù) |
A | x≤5000 | 36 |
B | 5000<x≤10000 | m |
C | 10000<x≤15000 | 27 |
D | 15000<x≤20000 | 15 |
E | x>20000 | 30 |
(1)本次被調(diào)査的家庭有__________戶,表中 m=__________;
(2)本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)出現(xiàn)在__________組.扇形統(tǒng)計圖中,D組所在扇形的圓心角是__________度;
(3)這個社區(qū)有2500戶家庭,請你估計家庭年文化教育消費10000元以上的家庭有多少戶?
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