Question

【題目】已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=7，D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC上，DE=DF，若BF=4，則EF=_______

Answer 1

【答案】或5或

【解析】

分別就E，F在AC,BC上和延長線上，分別畫出圖形，過D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足為G，H，通過構(gòu)造全等三角形和運用勾股定理作答即可.

解：①過D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足為G，H

∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°

又∵D是AB的中點，

∴DG=BC

同理：DH=AC

又∵BC=AC

∴DG=DH

在Rt△DGE和Rt△DHF中

DG=DH,DE=DF

∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）

∴GE=HF

又∵DG=DH,DC=DC

∴△GDC≌△FHC

∴CG=HC

∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3

∴EF=

②過D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足為G，H

∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°

又∵D是AB的中點，

∴DG=BC

同理：DH=AC

又∵BC=AC

∴DG=DH

在Rt△DGE和Rt△DHF中

DG=DH,DE=DF

∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）

∴GE=HF

又∵DG=DH,DC=DC

∴△GDC≌△FHC

∴CG=HC

∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11

∴EF=

③如圖，以點D為圓心，以DF長為半徑畫圓交AC邊分別為E、，過點D作DH⊥AC于點H，可知，可證△EHD≌△，，△DHC為等腰直角三角形，

∴∠1+∠2=45°

∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°

∴△EDF為等腰直角三角形

可證

∴AE=CF=3,CE=BF=4

∴

④有第③知，EF=5，且△EDF為等腰直角三角形，

∴ED=DF=,可證△,

綜上可得：

∴