Question

在正方形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)在AE上，滿足∠BFD=135°，若AB=4，則BF=

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)DG交AE于N，延長(zhǎng)NG到M，使MG=NG，連接BM，BN，易證△BGM≌△AGN和△AGD≌△BEA，可得∠DGA=∠AEB，∠ANG=∠BMG，∠NAG=∠MBG，即可求得∠ANG=90°=∠BMG，即可證明Rt△GMB∽R(shí)t△EBA，可得BM：GM=AB：BE=2：1，即可求得∠BND=135°，即N和F是同一點(diǎn)，根據(jù)勾股定理即可求得BM的長(zhǎng)度，即可解題．

解答：解：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)DG交AE于N，延長(zhǎng)NG到M，使MG=NG，連接BM，BN，

∵在△BGM和△AGN中，

AG=BG ∠AGN=∠BGM GM=GN

，
∴△BGM≌△AGN，（SAS）
∵在△AGD和△BEA中，

AD=AB ∠DAG=∠ABE AG=BE

，
∴△AGD≌△BEA，（SAS）
∴∠DGA=∠AEB，∠ANG=∠BMG，∠NAG=∠MBG，
又∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠DGA=90°，
∴∠ANG=90°=∠BMG，
∵∠NAG=∠MBG，
∴Rt△GMB∽R(shí)t△EBA，
∴BM：GM=AB：BE=2：1，
∴BM=2GM，
∴BM=NM，
∴∠MNB=∠MBN，
∴∠MNB=45°，
∴∠BND=135°
∴N和F是同一點(diǎn)，
在Rt△BMG中，GM²+BM²=BG²=4，
∴BM²=

16

5

，
在Rt△BFM中，BF²=2×

16

5

=

32

5

，
∴BF=

4 2

5

．
故答案為

4 2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BGM≌△AGN和△AGD≌△BEA是解題的關(guān)鍵．